Teorema di Weierstrass

Messaggioda complesso » 25/03/2017, 08:58

Buongiorno,
ho un problema su un passaggio della dimostrazione del teorema di Weierstrass, che riporto qui sotto, con i teoremi che richiama. In particolare non capisco la frase "Nel primo caso, se fosse \(\displaystyle f(x_0) > L \), seguirebbe dalla continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle x_0 \) l'esistenza di \(\displaystyle M > 0 \) e \(\displaystyle \delta > 0 \) tali che \(\displaystyle f(x) > M \) per ogni \(\displaystyle x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \)". Perché seguirebbe dalla continuità l'esistenza di \(\displaystyle M > 0 \)?
Ho provato a ragionarci e, supponendo il caso in cui \(\displaystyle f(x) < 0\ \ \forall x \in [a, b] \), non capisco come possa esistere \(\displaystyle M > 0 \). Ho fatto diversi tentativi, ma non sono riuscito a fare niente di rigoroso. Potrebbe essere \(\displaystyle M > L \)?
Potreste aiutarmi a ricavare rigorosamente, passaggio per passaggio, partendo dalle definizioni di continuità e dal teorema di permanenza del segno, l'affermazione del teorema di Weierstrass che non mi è chiara?
Grazie in anticipo

Teorema (Weierstrass).
Ogni funzione continua
\(\displaystyle f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \), definita e continua su un intervallo chiuso e limitato, ha massimo e minimo.
Come per il teorema degli zeri, ancora una volta si tratta di un'affermazione di esistenza. Nelle ipotesi fatte si afferma l'esistenza di
(i) un punto \(\displaystyle x_1 \in [a, b] \) tale che \(\displaystyle f(x_1) \le f(x)\ \ \forall x \in [a, b] \),
(ii) un punto \(\displaystyle x_2 \in [a, b] \) tale che \(\displaystyle f(x_2) \ge f(x)\ \ \forall x \in [a, b] \).

Dimostrazione.
Mostriamo che f ha minimo. Sia
\(\displaystyle L := \inf_{x \in [a, b]} f(x) \)
(a priori \(\displaystyle L \) potrebbe anche essere \(\displaystyle - \infty \) ). Per ogni \(\displaystyle t > L \) sia
\(\displaystyle E_t := \{x \in [a, b] | f(x) < t\} \) .
Ovviamente \(\displaystyle E_t \neq \varnothing \), \(\displaystyle E_t \subset [a, b] \) e \(\displaystyle E_t \subset E_s \) se \(\displaystyle L < t \le s \). Poniamo \(\displaystyle x_t := \inf E_t \).
Osserviamo che \(\displaystyle x(t) \) è decrescente e limitata inferiormente e quindi ha limite per \(\displaystyle t \rightarrow L^+ \) dato da \(\displaystyle x_0 := \sup_{t>L} x(t) \).
Dimostriamo ora, usando il teorema della permanenza del segno, che \(\displaystyle x_0 \) è un punto di minimo, i.e. \(\displaystyle f(x_0) = L \). Ragioniamo per assurdo.
Distinguiamo i tre casi \(\displaystyle x_0 \in (a, b) \), \(\displaystyle x_0 = a \), \(\displaystyle x_0 = b \). Nel primo caso, se fosse \(\displaystyle f(x_0) > L \), seguirebbe dalla continuità di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle x_0 \) l'esistenza di \(\displaystyle M > 0 \) e \(\displaystyle \delta > 0 \) tali che \(\displaystyle f(x) > M \) per ogni \(\displaystyle x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \); in particolare, per ogni \(\displaystyle t \in (L, M] \), il sottolivello \(\displaystyle E_t \) non conterrebbe nessun punto dell'intervallo \(\displaystyle (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \) e dunque
\(\displaystyle \forall t \in (L, M] \) o \(\displaystyle x(t) \le x_0 - \delta \) o \(\displaystyle x(t) \ge x_0 + \delta \) .
Questo è assurdo. Infati la seconda alternativa \(\displaystyle x(t) \ge x_0 + \delta \) è sempre impossibile per la definizione di \(\displaystyle x_0 \). Si avrebbe dunque che \(\displaystyle x(t) \le x_0 - \delta \) per ogni \(\displaystyle t \in (L, M] \) e dunque \(\displaystyle x_0 = \sup_{t>L} x(t) \le x_0 - \delta \) per la decrescenza di \(\displaystyle x(t) \), un assurdo.
[...]

Permanenza del segno.
Se \(\displaystyle f(x) \rightarrow L \) per \(\displaystyle x \rightarrow x_0 \) e \(\displaystyle L > 0 \) (risp. \(\displaystyle L < 0 \)), allora esiste \(\displaystyle \delta > 0 \) tale che \(\displaystyle f(x) > 0 \) (risp. \(\displaystyle f(x) < 0 \)) \(\displaystyle \forall x \in I, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta \).
Equivalentemente
Sia I un intervallo di estremi \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \), sia \(\displaystyle f: I \rightarrow R \) e \(\displaystyle x_0 \in [a, b] \). Se \(\displaystyle f(x) \rightarrow L \) per \(\displaystyle x \rightarrow x_0 \) e \(\displaystyle f(x) > 0 \) per ogni \(\displaystyle x \) vicino a \(\displaystyle x_0 \), allora \(\displaystyle L \ge 0 \).

Continuità.
Siano \(\displaystyle I \) un intervallo di \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle x_0 \in I \) e \(\displaystyle f:I \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione.
Si dice che \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle x_0 \) se, per ogni \(\displaystyle \epsilon > 0 \) esiste \(\displaystyle \delta_\epsilon > 0 \) tale che per ogni \(\displaystyle x \in I \) con \(\displaystyle |x-x_0|<\delta_\epsilon \) si ha \(\displaystyle |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \) . Si dice che \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle I \) se \(\displaystyle f \) è continua in ogni punto di \(\displaystyle I \).
complesso
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