Dubbio su sviluppo di Taylor di una funzione implicita

[robby96]

Ciao a tutti.

Con il teorema delle funzioni implicite ho dimostrato che, dati l'equazione $ F(x,y) = x^2 - x^4 - y^2 = 0 $ e il punto $ P = (x_0 , y_0) $, è definita implicitamente una funzione $ y = f(x) $ nell'intorno $ U $ del punto $ P $ tale che:

i) \( \displaystyle f \in C^1 (\mathbb{R}) \)
ii) $ F (x,f(x)) = 0 $
iii) \( \displaystyle F_y (x,f(x)) \neq 0 \)

Ora però voglio trovare gli sviluppi di Taylor di $ f $ nell'intorno $ U $ fino al terzo ordine.

Per il primo, sapendo che:

$ f' (x) = - {F_x (x,f(x))}/{F_y (x,f(x))} $
$ F_x (x,y) = 2x - 4x^3 $
$ F_y (x,y) = -2y $

mi sono ricavato:

$ f'(1/2) = 1/{\sqrt(3)} $

e quindi:

\( \displaystyle \begin{align*}
f(x) & = f \left( 1/2 \right) + f' \left( 1/2 \right) \left( x - 1/2 \right) + o \left( x - 1/2 \right) = \\
& = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( x - 1/2 \right) + o \left( x - 1/2 \right) = \\
& = \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{24} + o \left( x - \frac{1}{2} \right)
\end{align*} \)

Ora però non so cosa fare per gli sviluppi di ordine successivo, in particolare come ricavarmi $ f''(x) $ e $ f'''(x) $.

Potreste suggerirmi come procedere?
Vi ringrazio in anticipo.

[coffee]

Hai trovato

$ f' (x) = - {F_x (x,f(x))}/{F_y (x,f(x))} $

Quella a destra è una funzione della sola $x$, quindi derivandola rispetto a $x$ trovi $f''(x)$, $f'''(x)$ e così via.

[robby96]

Infatti in seguito ho pensato di fare così, ma ho temuto che fosse errato.