Dimostrazione di sommatoria semplice

[Galestix]

$\sum_(i=1)^\n i= (n(n+1))/(2) $ devo dimostrare questra sommatoria tramite l equazione qui sotto e mi dice di usare la riflessione di indici


$2\sum_(i=1)^\n i= \sum_(i=1)^\n i + \sum_(i=1)^\n $


a me è venuta in questo modo $2\sum_(i=1)^\(n-1) n-i= n(n+1)$ è corretta? oppure non ho capito nulla?

[pilloeffe]

Ciao Galestix,

Benvenuto sul forum!

No, è errata. Ci sono diversi modi di dimostrare la somma che hai proposto: se proprio devi usare la riflessione di indici, usala nella seconda sommatoria... Poi $i$ va da $0$ fino a $n - 1$ (o da $1$ a $n$, ma in questo caso l'argomento della sommatoria è $n - i + 1$): rivediti la proprietà di riflessione degli indici ed applicala per $a_i := i$.

[Galestix]

grazie continuavo a sbagliare usando la proprietà della somma di sommatorie perchè non ero stato attento a vedere che si possono addizzionere quando ak è diverso da bk comunque alla fine ho risolto così grazie alle tue dritte...


$2\sum_(i=1)^\(n) i = \sum_(i=1)^\(n) n-i+1 + \sum_(i=1)^\(n) i = n(n+1)$


ho trovato anche come farlo per il principio di induzione però l'esercizio chiedeva in questo modo. Ancora grazie

[pilloeffe]

Di niente. Forse la migliore dimostrazione della sommatoria che hai proposto è quella che si narra sia stata trovata per $n = 100$ da Gauss quando aveva 9 anni... La potrai facilmente generalizzare.

Cominciò a scrivere

$S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100$

Poi scrisse la stessa somma, ma invertendo l'ordine degli addendi, cosa che sapeva essere possibile per la proprietà commutativa della somma:

$S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1$

Successivamente scrisse le due somme una sotto all'altra:

$S = \qquad 1 + \quad2 + \quad 3 + ... + 98 + 99 + 100$
$S = 100 + 99 + 98 + ... + \quad 3 + \quad 2 + \qquad 1$

Sommando membro a membro si ha:

$ S = \qquad 1 + \quad 2 + \quad 3 + ... + 98 + 99 + 100$
$ S = 100 + 99 + 98 + ... + \quad 3 + \quad 2 + \qquad 1$

$2S = \underbrace{101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101}_{100 \quad text{volte}}$

Cioè $2S = 100 \times 101$ e quindi $S = frac{100 \cdot 101}{2}$, che non è altro che la tua sommatoria scritta per $n = 100$.

[Galestix]

grazie è molto interessante la dimostrazione che mi hai mostrato, ti ringrazio comunque ci sta un altro esercizio che dice di sfruttare il risultato dell'esercizio che mi hai appena consigliato cioè questo risultato $ 2\sum_(i=1)^\(n) i = \sum_(i=1)^\(n) n-i+1 + \sum_(i=1)^\(n) i = n(n+1) $

dimostrando questa sommatoria $\sum_{k = 0}^{n-1} (2k+1)$

ho visto in un altro post che il risultato dovrebbe essere questo $\sum_{k = 1}^{n} (2(k-1)+1)$

ma non riesco a capire come fa a trasformare $(2k+1)$ in $ (2(k-1)+1)$ senza annullare il +1 della sommatoria originale. potresti spiegarmi perfavore?

[pilloeffe]

Vabbeh Galestix, ma non è che mi puoi far fare tutti gli esercizi che ti ha dato il prof sul Bramanti, Pagani, Salsa...

Comunque:

$ \sum_{k = 0}^{n-1} (2k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = \sum_{k = 1}^{n} (2k-1)$

Ponendo $2n$ al posto di $n$ in $\sum_{k = 1}^{n} k = frac{n(n + 1)}{2}$, si può scrivere:

$1 + 2 + 3 + 4 + ... + (2n - 1) + 2n = \frac{2n \cdot (2n + 1)}{2}$

Ovvero, semplificando:

$1 + 2 + 3 + 4 + ... + (2n - 1) + 2n = n \cdot (2n + 1)$

Utilizzando il simbolo di sommatoria si può scindere la somma dei numeri dispari da quella dei numeri pari:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + \sum_{k=1}^{n} 2k = n \cdot (2n + 1)$

La prima somma è quella da determinare, mentre nella seconda si può portare il 2 fuori dal simbolo di sommatoria:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + 2 \cdot \sum_{k=1}^{n} k = n \cdot (2n + 1)$

A questo punto la prima somma è quella da determinare, mentre la seconda non è altro che la $\sum_{k = 1}^{n} k = frac{n(n + 1)}{2}$, per cui si può scrivere:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + 2 \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = n \cdot (2n + 1)$

Ovvero, semplificando:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + n \cdot (n + 1) = n \cdot (2n + 1)$

Moltiplicando si ha:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + n^2 + n = 2n^2 + n$

Isolando la somma da determinare, si ha:

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2n^2 + n - n^2 - n$

In definitiva si ha:

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$

Incidentalmente si è anche ottenuto il risultato seguente:

$0 + 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \sum_{k=0}^{n} 2k = 2 \sum_{k=0}^{n} k = n^2 + n$

ove la sommatoria può anche partire da $k = 1$, in quanto il termine per $k = 0$ non dà alcun contributo alla somma.

E' interessante notare che nella somma dei primi $2n$ numeri naturali il contributo dei numeri dispari è $n^2$, mentre quello dei numeri pari è $n^2 + n$.

[Galestix]

ahahaha mi hai beccato, scusami ma non ho la soluzione degli esercizi e quando li svolgo non so se li faccio in modo corretto così almeno posso partire da un punto di inizio,quindi grazie ....comunque ho capito tutto ti ringrazio poi vabbè se magari qualcosa mi sembrava chiara nella dimostrazione e alla fine mi viene qualche dubbio,posso chiederti?

[pilloeffe]

Certo, certo...

[zooropeanily]

Scusate ragazzi, riprendo questo topic perché non mi è chiaro l'esercizio 4 del Bramanti-Pagani-Salsa.
Lo riporto qui:

$ \sum_{k = 0}^{n-1} (2k+1) = n^2 $


Mi sono bloccata alla traslazione di indici e non capisco in che modo sfruttare il risultato dell'esercizio precendente.
Perché bisogna porre $ 2n $ al posto di $ n $?

[pilloeffe]

Ciao

Mi sono bloccata alla traslazione di indici e non capisco in che modo sfruttare il risultato dell'esercizio precendente.

Il risultato dell'esercizio precedente è la somma dei primi $n $ numeri naturali che come sai o dovresti aver già dimostrato nell'esercizio precedente è pari a $(n(n + 1))/2 $

Perché bisogna porre $2n$ al posto di $n$?

Prova a scrivere esplicitamente i termini della somma a primo membro di quanto devi dimostrare:

$ \sum_{k = 0}^{n-1} (2k+1) = n^2 $

Si tratta di $2n $ termini, quindi è naturale scrivere $2n $ al posto di $n$, come è riportato nei post precedenti. Alla fine della dimostrazione si è ottenuto il risultato seguente:

$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2 $

La sommatoria proposta nell'esercizio 4 del Bramanti-Pagani-Salsa non è che quest'ultima con la traslazione di indice $k := k + 1 $, per cui in definitiva si ha:

\begin{equation*}
\boxed{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = \sum_{k=0}^{n - 1} (2k + 1) = n^2}
\end{equation*}