Vabbeh Galestix, ma non è che mi puoi far fare tutti gli esercizi che ti ha dato il prof sul Bramanti, Pagani, Salsa...
Comunque:
$ \sum_{k = 0}^{n-1} (2k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = \sum_{k = 1}^{n} (2k-1)$
Ponendo $2n$ al posto di $n$ in $\sum_{k = 1}^{n} k = frac{n(n + 1)}{2}$, si può scrivere:
$1 + 2 + 3 + 4 + ... + (2n - 1) + 2n = \frac{2n \cdot (2n + 1)}{2}$
Ovvero, semplificando:
$1 + 2 + 3 + 4 + ... + (2n - 1) + 2n = n \cdot (2n + 1)$
Utilizzando il simbolo di sommatoria si può scindere la somma dei numeri dispari da quella dei numeri pari:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + \sum_{k=1}^{n} 2k = n \cdot (2n + 1)$
La prima somma è quella da determinare, mentre nella seconda si può portare il 2 fuori dal simbolo di sommatoria:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + 2 \cdot \sum_{k=1}^{n} k = n \cdot (2n + 1)$
A questo punto la prima somma è quella da determinare, mentre la seconda non è altro che la $\sum_{k = 1}^{n} k = frac{n(n + 1)}{2}$, per cui si può scrivere:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + 2 \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = n \cdot (2n + 1)$
Ovvero, semplificando:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + n \cdot (n + 1) = n \cdot (2n + 1)$
Moltiplicando si ha:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) + n^2 + n = 2n^2 + n$
Isolando la somma da determinare, si ha:
$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2n^2 + n - n^2 - n$
In definitiva si ha:
$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$
Incidentalmente si è anche ottenuto il risultato seguente:
$0 + 2 + 4 + 6 + ... + 2n = \sum_{k=0}^{n} 2k = 2 \sum_{k=0}^{n} k = n^2 + n$
ove la sommatoria può anche partire da $k = 1$, in quanto il termine per $k = 0$ non dà alcun contributo alla somma.
E' interessante notare che nella somma dei primi $2n$ numeri naturali il contributo dei numeri dispari è $n^2$, mentre quello dei numeri pari è $n^2 + n$.