forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda otta96 » 16/04/2017, 15:04

Stiamo studiando le forme differenziali lineari e abbiamo dimostrato che quelle esatte sono sempre chiuse, mentre il viceversa non è sempre vero, solo che certe ipoteso sul dominio permettono di invertire l'implicazione, ad esempio l'essere semplicemente connesso. Quello che mi chiedo io è se i domini semplicemente connessi siano gli unici per i quali valga che ogni forma differenziale chiusa è anche esatta. Equivalentemente, se ho un aperto di $RR^n$ non semplicemente connesso, esiste una forma differenziale che ha quello come dominio, è chiusa ma non esatta? (Mi interessa soprattutto per $n=2,3$)
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Re: forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda robbstark » 16/04/2017, 23:31

Considera la forma differenziale $\omega = \frac{-y}{x^2+y^2} dx + \frac{x}{x^2+y^2} dy$. Puoi verificare facilmente che è chiusa.
Se calcoli l'integrale lungo sul cerchio di raggio 1 centrato nell'origine ti viene $2 \pi$ anziché $0$, quindi la forma non è esatta.

Per quanto riguarda la prima domanda non ricordo teoremi con diverse condizioni sui domini (ma non vuol dire che non esistano). Certamente però è possibile che una forma differenziale definita su un dominio non semplicemente connesso come quello dell'esempio precedente sia chiusa ed esatta.
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Re: forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda Ernesto01 » 17/04/2017, 19:54

Vale il seguente risultato:

Sia $omega$ una forma differenziale definita su $Omega$ aperto, e supponiamo che $omega$ sia chiusa.
Allora l'integrale su due curve omotope con gli stessi estremi coincide.

Un corollario di questo teorema è che se $Omega$ è un aperto semplicemente connesso, allora $omega$ è chiusa se e solo se è aperta.

In generale per verificare che $omega$ chiusa definita $Omega$ aperto qualsiasi è anche esatta basta verificare che l'integrale su una famiglia di curve che genera il gruppo fondamentale di $Omega$ è nullo.

Se per esempio $Omega=RR^2\\{(0,0)}$ e $omega$ è chiusa su $Omega$, allora condizione necessaria e sufficiente affinchè $omega$ sia esatta è che l'integrale della forma su di una curva $gamma$ (una qualsiasi, solo una) chiusa semplice e che "gira"
attorno l'origine è nulla.
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Re: forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda otta96 » 18/04/2017, 17:38

Vi ringrazio per le risposte, ho scoperto alcune cose interessanti che non sapevo.
Solo che il mio dubbio non è stato risolto, lo riformulo in un altro modo percèe forse non sono stato tanto chiaro nell'altro messaggio: sia $A$ l'insieme di tutti gli aperti di $RR^n$ (volendo anche solo $RR^2$) tali che valga la seguente proprietà:
$AA$ $\omega$ forma differenziale su $A$, si ha $\omega$ chiusa $\Rightarrow$ $\omega$ esatta.
Il problema è quello di descrivere $A$; ovviamente tutti gli aperti semplicemente connessi ci appartengono, e senza dubbio ci sono aperti che non ci appartengono come ha fatto vedere robbstark, la questione diventa: ce n'è anche qualcuno non semplicemente connesso? Cioè $A$ coincide o no con l'insieme degli aperti semplicemente connessi?
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Re: forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda otta96 » 22/04/2017, 23:20

Quello che intendo è: è vera questa implicazione?
Sia $AsubeRR^2$ tale che ogni forma differenziale chiusa su $A$ è anche esatta, posso concludere che $A$ è semplicemente connesso? Oppure, esistono dei controesempi a questa affermazione?
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Re: forma differenziale chiusa $\Rightarrow$ esatta

Messaggioda dissonance » 24/04/2017, 12:01

Si. Stai riscoprendo la coomologia di de Rham.
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