[Teoria dei Sistemi] Stabilità asintotica

[folgore]

Applicando il criterio di Routh per ricavare i valori di G per cui il sistema è asintoticamente stabile,mi sono imbattuto nel seguente sistema di disequazioni :

$-G^(2)-G+2 > 0 $
$3G^(2)-G+4 > 0 $
$8G^(4)-8G^(3)+8G^(2)-8 > 0$
$G^(2)+G > 0$

le prime due disequazioni e l'ultima ammettono soluzioni,ma la terza non riesco a risolverla.
Qualcuno ha delle idee ?

Ho verificato col MATLAB tutti i calcoli che pervengono a tale sistema e penso che siano corretti.

[pilloeffe]

Ciao folgore,

Beh, la prima idea è dividerla per $8$ in modo da avere la disequazione seguente:

$G^4 - G^3 + G^2 - 1 > 0$

Poi non è difficile vedere che si può dividere per $(G - 1)$ (con la divisione fra polinomi o con la regola di Ruffini, a scelta...), ottenendo così la disequazione seguente:

$(G - 1)(G^3 + G + 1) > 0$

Ora l'equazione $G^3 + G + 1 = 0$ si può scrivere $G^3 = - G - 1$, il che equivale al problema seguente:

$\{(y = G^3),(y = - G - 1):}$

Si tratta dunque di determinare le intersezioni fra la funzione cubica $y = G^3$ e la retta $y = - G - 1$. Con un disegno di massima si vede che si ha una sola intersezione per $G_1 ~~ - 0,7$. Dunque l'equazione $G^3 + G + 1 = 0$ ha una sola soluzione reale negativa, perciò le altre due soluzioni sono complesse coniugate, il che significa che la disequazione iniziale che hai proposto si può scrivere nel modo seguente:

$(G - 1)(G - G_1)(aG^2 + bG + c) > 0$

ove $\Delta := b^2 - 4ac < 0$ e $a > 0$, pertanto l'ultimo trinomio è sempre positivo. A questo punto per sapere dove il prodotto è positivo ti basta vedere dove è positivo il prodotto dei due fattori di primo grado $(G - 1)$ e $(G - G_1)$. Se ti servono valori più precisi:

\( \displaystyle G_1 = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{93} - 9)}}{3^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3(\sqrt{93} - 9)}} \simeq - 0,68233 \)

(ottenuto con WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=G%5E3+%3D+-+G+-+1)

[folgore]

Ti ringrazio moltissimo per avermi risposto.
Essendo il discriminante minore di $0$,la soluzione del trinomio di secondo grado dovrebbe essere per ogni $G$ appartenente ad $R$.Di conseguenza quando si effettua il prodotto non dovrei tenere conto anche di tale soluzione nella tabella dei segni
che vado a disegnare?
Inoltre per risolvere l'equazione associata $G^(3)+G+1=0$ hai utilizzato il "metodo risolutivo" ?
In realtà,per risolvere la disequazione di partenza $G^(4)-G^(3)+G^(2)-1>0$,avevo intrapreso una strada simile,ma poi mi sono fermato perché ho ritenuto un po' strano che un esercizio mirato a determinare la risposta di un sistema abbia queste peculiarità ed infatti anche in un altro esercizio compariva la risoluzione di una equazione di terzo grado non risolvibile in modo "classico",ma che richiedeva l'applicazione del metodo risolutivo.Infatti andai a ricevimento dal professore e scoprimmo che lui aveva commesso un errore nella traccia.Non vorrei che fosse di nuovo così...

[pilloeffe]

Ti ringrazio moltissimo per avermi risposto.

Prego.

Essendo il discriminante minore di 0,la soluzione del trinomio di secondo grado dovrebbe essere $\AA G \in \RR$. Di conseguenza quando si effettua il prodotto non dovrei tenere conto anche di tale soluzione nella tabella dei segni che vado a disegnare?

Se vuoi sì, ma è un po' inutile perché nella tabella dei segni sarebbe una riga di tutti + che comunque non influirebbe sul risultato finale...

... hai utilizzato il "metodo risolutivo" ?

Dipende da cosa intendi per "metodo risolutivo": ho usato il metodo grafico, facendo il grafico della cubica $y = G^3$ ed osservando dove si interseca con la retta $y = - G - 1$. Si vede abbastanza bene perché sono funzioni semplici ben note. Una volta per risolvere questo tipo di problemi ci facevano disegnare le curve sulla carta millimetrata: adesso siete fortunati, avete mezzi eccezionali come WolframAlpha...

Infatti andai a ricevimento dal professore e scoprimmo che lui aveva commesso un errore nella traccia. Non vorrei che fosse di nuovo così...

E' possibile, tutti possono sbagliare: diciamo che tipicamente un professore sbaglia molto meno di un discente, ma è un essere umano anche lui e come tale non è immune da errori...

[folgore]

Sei stato veramente molto gentile.
Ti ho chiesto quale metodo avessi utilizzato,per il fatto che durante l'esame non è possibile utilizzare WolframAlpha o altri software di calcolo,ma solo la calcolatrice non programmabile.
Per "metodo risolutivo" intendevo quello scoperto da François Viète,ma come procedimento risulta piuttosto lungo.
Dato che sono argomenti che ho affrontato un po' di tempo fa,potresti darmi un'indicazione sul "metodo grafico" ?
Ad esempio,va bene per risolvere anche equazioni di ordine superiore al terzo ?Si procede sempre nello stesso modo illustrato da te in questo esercizio ?

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao folgore,

Prego, ma di niente... Certo, il metodo grafico può andare bene per tutte le funzioni, a patto che se ne riesca a tracciare il grafico abbastanza facilmente. Ci sono diversi miei post su questo sito dove ne ho fatto un uso diffuso: ora non ho tempo di cercarli tutti, ma puoi farlo tu... Ad esempio questo è un esempio di metodo grafico con la ben nota funzione $arctan x$ ed una funzione omografica. Per far capire meglio è riportato il grafico con WolframAlpha, ma si può fare anche senza, a patto di disegnare il più fedelmente possibile le funzioni coinvolte. Altrimenti un'altra strada percorribile è quella dei metodi numerici...