We
Ho dimostrato un teorema in maniera autonoma e cercavo di capire se tutti i passaggi fossero abbastanza legali.
sia $IsubseteqRR$ un intervallo aperto e sia $f:I->R$ una funzione. Supponiamo inoltre che $f inC^2(I)$
$•$ se $f''(x)>0forallx inI$ allora $f$ è convessa in $I$
Inizio ponendo $g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) forallx inI$
In particolare $ginC^2(I)$ poiché è somma di funzioni derivabili due volte in $I$
Dunque il problema diventa 'mostrare che $g(x)>0 forallx inI$'
$g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ in particolare $g'(x_0)=0$
Calcolando la derivata seconda ottengo che $g''(x)=f''(x)$ in particolare $g''(x_0)=f''(x_0) forallx_0inI$
Per ipotesi sappiamo che $f''(x)>0 forallx inI$ dunque deve essere $g''(x_0)>0forallx_0 inI$
So che $0<g''(x_0)=lim_(x->x_0)(g'(x)-g'(x_0))/(x-x_0)$
In particolare questo vale per il limite destro e sinistro, quindi posso utilizzare il teorema di permanenza del segno applicandoli al limite destro e sinistro.
Infatti facendo il limite a sinistra, il denominatore sarebbe negativo e a destra positivo.
Dunque,
$exists B_(-)(x_0,a[: g'(x)<g'(x_0)=0 forallx inB_(-)(x_0,a[capI forallx_0inI$
$exists B_(+)(x_0,b[: g'(x)>g'(x_0)=0 forallx inB_(+)(x_0,b[capI forallx_0inI$
E infine $g'(x_0)=0$ dunque $x_0$ è un punto di minimo per $g$ poiché(detto alla ignorante) la derivata a sinistra decresce e a destra cresce. Pongo $c=min{a,b}$
Dunque si ha $g(x)>g(x_0)=0forallx inB(x_0,c[capIforallx_0inI$
Che è la tesi. In particolare viene raggiunta per l'arbitrarietà di $x_0$
Ora io ho mostrato così è che strettamente convessa in $I$ ma non semplicemente convessa e mi sembra abbastanza legale.
Il problema è non diventare illegale con l'uguaglianza.
Per esempio io ho mostrato che se $f''(x)>0$ per ogni elemento dell'intervallo, allora $f$ è convessa nell'intervallo.