Determinazione dominio forma differenziale

[MrEngineer]

Ciao ragazzi Mi trovo a dover calcolare l'integrale di tale forma differenziale:
$\omega=(log(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2))dx + (2xy)/(x^2+y^2)dy$ lungo una curva. Il mio problema con le forme differenziali è la determinazione( a volte,non sempre per fortuna) del dominio. Molte volte mi risulta difficile riconoscere l'insieme di definizione. Ad esempio,in questo caso,perchè risulta essere $R^2-{(0,0)}$? So bene che se x e y fossero uguali a zero le due frazioni perderebbero di significato. MA c'è anche un logaritmo,il cui argomento dovrebbe essere posto maggiore di zero. Perchè viene preso in considerazione solo il caso $x^2+y^2!=0$? Vi sarei davvero grato se poteste darmi delle dritte su come riconoscere il dominio di una forma differenziale. Grazie

[pilloeffe]

Ciao MrEngineer,

Beh, perché l'argomento del logaritmo è una somma di quadrati, per cui siamo certi che è positiva, salvo appunto il "caso sfigato" in cui sia $x = y = 0$...

[MrEngineer]

Ok grazie Pilloeffe.. in effetti era più banale di quanto potessi pensare. Saresti gentile se rispondessi a due altri miei dubbi. Ti propongo una nuova forma differenziale $\omega = e^y dx + ( x e^y - 1/y)dy$ da calcolare lungo una curva parametrizzata. Il dominio di tale FD è tutto $R^2$ escluso $y!=0$ per cui si ha un buco. Posso pensare allora di prendere un sottodominio, ad esempio quello in cui $y>0$ o $y<0$. Per capire se la forma sarà esatta in tale sottodominio (prendiamo il primo, $A = y > 0$),pensavo di calcolare il valore della curva data dal testo ovvero $\gamma = (t+sqrt(t),tlog(t+2))$ con $t=[1,4]$. Sostituendo 1 alla forma parametrizzata della curva,ottengo il punto $P'=(2,log(3))$,invece sostituendo il valore 4 ottengo $P''=(6,4log(6))$. Le coordinate in y di tali punti sono sicuramente maggiori di zero. Posso dunque dire che la forma è esatta nel sottodominio $A={(x,y) in R^2 : y > 0}$?

[MrEngineer]

La domanda resta ancora aperta ragazzi
Ragazzi sapreste indicarmi il dominio della seguente forma differenziale?
$\omega = ((sqrt(x^2+y^2)+x)/(sqrt(x^2+y^2)))dx + (y/(sqrt(x^2+y^2)))dy$.
Grazie