Differenziabilità funzioni composte

[singularity]

Mi sono bloccato su una dimostrazione del teorema di differenziabilità delle funzioni composte:

siano:
$f : RR^n supe Omega rarr RR^m $ , differenziabile in $x_0 in Omega$
$g: RR^m supe A : rarr RR^p$, differenziabile in $y_0 = f(x_0) in A$

Consideriamo:

$g(f(x_0+h)) = g(f(x_0) + df_(x_0)(h) + o(||h||)) = $
$= g(f(x_0)) + dg_f(x_0) (df_(x_0) + o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)=$
$ = g(f(x)) + (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) + dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $


in sostanza, aldilà della pesantezza della notazione, si ottiene:
$g(f(x_0+h)) - g(f(x_0)) - (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) = dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $

Provando che la parte a destra dell'identità tende a zero per $h rarr 0$si otterrebbe che la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e che tale differenziale è dato dalla composizione dei due differenziali (di $f$ in $x_0$ e di $g$ in $f(x_0)$). Ma è qui che l'ispirazione è finita e non ho attualmente idee su come fare ciò

[dissonance]

È proprio la definizione di o-piccolo.

[singularity]

Ok, è quindi corretto che:
$dg_(f(x_0))(o(||h||)) =||h||dg_(f(x_0))(o(1)) = o(||h||) $ ?
In ogni caso continua a sfuggirmi perché
$ o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) = o(||h||)$

[Ernesto01]

Magari ci sono altre strade migliori , ti dico quello che mi è venuto in mente.
Dunque usando la tua notazione voglio dimostrare che $dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $ è $o(||h||)$

La prima parte $dg_(f(x_0))(o(||h||))<=M* o(||h||)$ dove $M>0$ ,e quindi è facile verificare che questo è $o(||h||)$. (La stima segue dal fatto che il differenziale è una applicazione lineare)

La seconda parte, se l'argomento dell'$o$ è non nullo allora
$lim_(||h|| ->0) (o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)) / ||h||=lim_(||h|| ->0)(o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||))/||df_(x_0)(h) + o(||h||)|| * ||df_(x_0)(h) + o(||h||)||/||h||$

Il primo fattore è zero per definizione di $o$, l'altro è limitato (disuguaglianza triangolare delle norme+ stima come prima) quindi quel limite è zero.

Ora rimane da trattare il caso $df_(x_0)(h) + o(||h||)=0$ ,utilizzando la differenziabilità di $g$ in $f(x_0)$.

[singularity]

Grazie, la tua risposta mi è stata utile