Ciao nerone80,
Bentornato! Allora...
1)
nerone80 ha scritto:il primo termine tende a divergere negativamente
Sì, si tratta di una serie geometrica di ragione $frac{5}{4} > 1$, per cui è divergente.
nerone80 ha scritto:mentre il secondo dovrebbe essere convergente
Lo è: $\sum_{n = 0}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 \implies \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 - 1$
nerone80 ha scritto:quindi il tutto dovrebbe divergere negativamente giusto?
2)
nerone80 ha scritto:il cui primo termine è una serie armonica generalizzata (diverge)
nerone80 ha scritto:il secondo termine è una frazione minore di 1, quindi all'aumentare di $n$, tende a $0$
Questa in realtà è solo una condizione necessaria, ma non sufficiente per la convergenza. Ma $\sum_{n = 0}^{+infty} (frac{1}{3})^n$ è una serie geometrica di ragione $frac{1}{3} < 1$, per cui converge a $frac{1}{1 - 1/3} = frac{3}{2}$
nerone80 ha scritto:Si può pertanto dire che la serie diverge?
Sì, positivamente questa volta...
3) Posto $a_n := |x|^{n^2 + 3n}$, per la condizione necessaria di convergenza delle serie deve aversi $a_n \to 0$ per $n \to +infty$, il che accade se e solo se $|x| < 1$.
4) Osservando che \( \displaystyle \arctan(1/n^2) \le 1/n^2 \) , si ha:
$\sum_{n=1}^{+infty} n^{3x+1} \arctan(frac{1}{n^2}) \le \sum_{n=1}^{+infty} frac{n^{3x+1}}{n^2} = \sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^{2 - 3x - 1}}$
L'ultima scritta è una
serie armonica generalizzata che converge se $2 - 3x - 1 > 1$, cioè se $x < 0$.
da nerone80 » 21/04/2017, 20:58 
