Salve a tutti, devo determinare il carattere della serie, al variare del parametro negativo \(\displaystyle \alpha \).
Serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha) \)
Ho diviso la serie in due parti:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) \)
Serie 1:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}} \)
Una serie armonica, conoscendo il carattere della serie armonica:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}}= \begin{cases} \text{converge => -2}\alpha>1,\alpha>-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<\alpha<0 \\ \text{diverge=> -2}\alpha\leq1,\alpha\leq-\frac{1}{2} \end{cases} \)
Serie 2:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) = \sum_{n=1}^{+\infty }-(1-cos n^\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{-(1-cos n^\alpha)}{n^{2\alpha}}n^{2\alpha}\)
Qui mi viene qualche dubbio, è sbagliato rifare le stesse congetture che avevo fatto per la serie 1.
Da qui in poi, non so bene come continuare.