Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x} \)
Ho risolto in questa maniera:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \) Th. di de l'Hôpital
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{cos x-\frac{1}{1+x^2}}{1-cos x}= \) Th. di de l'Hôpital
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-sin x+\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-\frac{sin x}{sin x}+\frac{\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2x}{(1+x^2)^2sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2}{(1+x^2)^2}\frac{x}{sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2}{(1+x^2)^2}\frac{1}{\frac{sin x}{x}}= 1 \)
Volevo sapere se cosi andava bene, la risoluzione di questo limite.
Se invece penso il limite in questo modo:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-\frac{cos x}{sin x}}{x-sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{sin^2 x-cos x}{sin x}}{x-sin x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin^2 x-cos x}{sin x(x-sin x)}= -\infty \)
Perché è sbagliato?