Calcolare il seguente limite

Messaggioda angelok90 » 23/04/2017, 11:18

Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x} \)

Ho risolto in questa maniera:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \) Th. di de l'Hôpital

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{cos x-\frac{1}{1+x^2}}{1-cos x}= \) Th. di de l'Hôpital

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-sin x+\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-\frac{sin x}{sin x}+\frac{\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2x}{(1+x^2)^2sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2}{(1+x^2)^2}\frac{x}{sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}-1+\frac{2}{(1+x^2)^2}\frac{1}{\frac{sin x}{x}}= 1 \)

Volevo sapere se cosi andava bene, la risoluzione di questo limite.

Se invece penso il limite in questo modo:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-\frac{cos x}{sin x}}{x-sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{sin^2 x-cos x}{sin x}}{x-sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin^2 x-cos x}{sin x(x-sin x)}= -\infty \)

Perché è sbagliato?
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda feddy » 23/04/2017, 11:29

ho dato solo una rapida occhiata, tuttavia:
\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \)


Ho come la sensazione che tu abbia confuso $arctg(x)=tg^(-1)(x)$ con $(tg(x))^{-1}$. Una è la funzione inversa della tangente (detta appunto arcotangente), l'altra è il reciproco, cioè $1/(tg(x))$. Questo è un concetto fondamentale, ti invito a studiarlo con calma perché, aldilà della notazione, la differenza tra funzione inversa e reciproco DEVE essere chiara per proseguire bene nel prorpio percorso.

Ad ogni modo, guardando così su due piedi il limite, conviene usare Taylor.

Fammi sapere, ciao
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda angelok90 » 23/04/2017, 12:57

Hai ragione, ho confuso l'arctang con cot. :)

Non ho affrontato gli sviluppi di Taylor Mc-Laurin. :(
Ho visto gli sviluppi di Taylor:

\(\displaystyle sin x = x-\frac{x^3}{3!}+O_1(x^3) \)
\(\displaystyle arctg x = x-\frac{x^3}{3}+O_2(x^3) \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin x-arctang x}{x-sin x}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ x-\frac{x^3}{3!}+O_1(x^3)-x+\frac{x^3}{3}+O_2(x^3)}{x-x+\frac{x^3}{3!}+O_1(x^3)}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+O_1(x^3)+O_2(x^3)}{\frac{x^3}{6}+O_1(x^3)}= \)

Da qui in poi, non so bene come continuare, quindi vediamo se ho capito.
Gli O-piccolo, non li consideriamo.

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^3}{6}}{\frac{x^3}{6}}= 1\)
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda feddy » 24/04/2017, 10:16

Il risultato a cui sei pervenuto è corretto. Con Taylor è necessario capire a che ordine smettere di sviluppare i vari termini e per questo serve solo un po' d'occhio, che si fa con l'esercizio.
In particolare è fondamentale conoscere l'"algebra degli o-piccolo". Da un'occhiata qui
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda angelok90 » 24/04/2017, 16:30

Come ho fatto i passaggi sono corretti?
Con Taylor un limite è sempre risolvibile?
Potresti dare un occhiata qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=173536&p=8272152#p8272152
Ho qualche problema con quel limite. :-D
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda feddy » 24/04/2017, 19:51

Sì, i passaggi sono giusti.
Taylor è utile nel momento in cui hai funzioni che sai sviluppare in modo opportuno, e soprattutto quando i limiti notevoli non bastano. Nota che gli sviluppi di Taylor arrestati al prim'ordine sono proprio i limiti notevoli che conosci già. Niente di nuovo quindi.

Il limite che richiedi fa $0$:

Numeratore: (i conti puoi verificarli te): $9x^4/4 + o(x^4)$.
Denominatore: Visto che il numeratore lo arresto al grado $4$ e che ho il prodotto di $3$ funzioni il cui termine iniziale dello sviluppo è proprio $x$, non sviluppo oltre al prim'ordine e ottengo D: $x(x+o(x))^2=x^3 + o(x^3)$

Pertanto il limite vale $0$.
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda angelok90 » 24/04/2017, 21:57

Ho capito.
Quindi \(\displaystyle cos^3x \), mi fermo al secondo grado?
Perché se elevo al quadrato, fa quarto grado.
Denominatore: $ (x+o(x))*(x+o(x))*(x+o(x))=(x+o(x))^3=x^3 + o(x^3) $

Come hai capito, che al numeratore mi dovevo fermare al quarto grado e al denominatore al terzo.
Esiste un modo per guardare, con quale occhio devo guardarli? :-D

P.s.
Quando debbo fare \(\displaystyle cos^n x \) con gli sviluppi di taylor, come fai?
Ad esempio se ho:
\(\displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O_1(x^4) \)
Debbo calcolare \(\displaystyle cos^3 x \), esiste un trucco per farlo velocemente?

Un dubbio(calcoli fatti con wolframe):
1)\(\displaystyle (1-cos^3 x)=\frac{3 x^2}{2}-\frac{7 x^4}{8}+\frac{61 x^6}{240}+O(x^7) \)
Invece:
2)\(\displaystyle (1-cos^3 x)^2=\frac{9 x^4}{4}-\frac{21 x^6}{8}+\frac{489 x^8}{320}+O(x^9)
\)

Il primo termine di (2) è il quadrato del primo termine di (1), ma il secondo termine di (2) non è il quadrato del secondo termine di (1), ecc..
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda feddy » 24/04/2017, 23:12

angelok90 ha scritto:Come hai capito, che al numeratore mi dovevo fermare al quarto grado e al denominatore al terzo.
Esiste un modo per guardare, con quale occhio devo guardarli? :-D


L'ho scritto nel messaggio precedente. L'ho fatto poiché al denominatore avevo un prodotto di tre funzioniil cui il primo termine era $x$.
angelok90 ha scritto:Debbo calcolare cos3x, esiste un trucco per farlo velocemente?


Ho fatto semplicemente i conti. Ho arrestato lo sviluppo di $cos(x)$ al secondo ordine e poi ho sviluppato. Altri modi non ne vedo
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda angelok90 » 25/04/2017, 10:42

Perché al secondo ordine e non al quarto ordine, cosi perdi due termini di quarto ordine.
Considerando: \( \displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O_1(x^4) \)
Dici che non sono importanti?


Quindi fai:
\( \displaystyle (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})*(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) \)
Poi il risultato per: \(\displaystyle (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) \)

Prendendo solo i termini fino al quarto ordine, giusto?



Speravo ci fosse un modo più veloce. :-D



Ti sei dimenticato questa domanda:
Un dubbio(calcoli fatti con wolframe):
1)\( \displaystyle (1-cos^3 x)=\frac{3 x^2}{2}-\frac{7 x^4}{8}+\frac{61 x^6}{240}+O(x^7) \)
Invece:
2)\( \displaystyle (1-cos^3 x)^2=\frac{9 x^4}{4}-\frac{21 x^6}{8}+\frac{489 x^8}{320}+O(x^9) \)

Il primo termine di (2) è il quadrato del primo termine di (1), ma il secondo termine di (2) non è il quadrato del secondo termine di (1), ecc..

Questo è dovuto al fatto che all'interno, facendo il quadrato posso avere il sesto grado in due modi diversi e l'ottavo grado in tre modi diversi, giusto?
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Re: Calcolare il seguente limite

Messaggioda feddy » 25/04/2017, 11:13

angelok90 ha scritto:Perché al secondo ordine e non al quarto ordine, cosi perdi due termini di quarto ordine.
Considerando: \( \displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O_1(x^4) \)
Dici che non sono importanti?


Quindi fai:
\( \displaystyle (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})*(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) \)
Poi il risultato per: \(\displaystyle (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}) \)

Prendendo solo i termini fino al quarto ordine, giusto?


No, ho sviluppato i termini fino al secondo ordine. Tanto poi lo elevo al cubo e quindi se sviluppo fino al quarto ordine ottengo conti tediosi.

C'è un errore di fondo nel tuo procedimento: quando scrivi lo sviluppo devi considerare l'o-piccolo. Pertanto devi fare $(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))*(1-\frac{x^2}{2} + o(x^2))$ e poi moltiplicare ancora una volta.

angelok90 ha scritto:
Un dubbio(calcoli fatti con wolframe):


Prova a fare i calcoli, ricordando l'algebra degli o-piccoli. In sostanza, le potenze di ordine maggiore di $4$ puoi trascurarle.

Per esempio, per $f(x)=x^5$, $g(x)=x^4$ si ha $f(x)=o(g(x))$, infatti $ lim_(x -> 0)x^5/x^4=0 $
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