Estremi integrazione integrale doppio su circonferenza

[Gando89]

Buongiorno a tutti.

Come da titolo mi trovo in difficoltà nell'individuare gli estremi di integrazione di integrali doppi che riguardano circonferenze, quindi in coordinate polari.

Ho questo problema: Il dominio è D={ y$>=$0 , x^2+y^2-x$<=$0 } e la funzione è: $\int int \sqrt(1-(x^2+y^2)) dxdy$
Disegnando il dominio di integrazione dovrebbe risultare una semicirconferenza nel primo e secondo quadrante, con centro in x=1/2, y=0 e raggio=1/2.
Ora, ho difficoltà a "calcolare" gli stremi di integrazione.
Se mi rifaccio al disegno del dominio mi viene da dire che $\rho$ sia compreso tra 1/2 e 1 e che l'angolo $\theta$ vada da 0 a $\pi$
E' esatto o sto sbarellando?
E' corretto trovare gli estremi dal dominio in modo "visivo" o si dovrebbe fare matematicamente, cioè:
$\rho$^2*($\rho$ - cos($\theta$)) $<=$ 0 In questo modo però ho difficoltà a procedere, cioè a risolvere la disequazione in termini di $\rho$ e $\theta$.

Vi ringrazio molto in anticipo per l'aiuto.

[MrEngineer]

Ciao Gando,sono alle prese con gli integrali doppi anche io Studiando il tuo dominio,credo tu possa passare in coordinate polari con $x= \rho cos(t)$, $y= \rho sen(t)$, e invece $0<\theta<=pi/2$ Fammi sapere

[feddy]

La condizione $y>=0$ si traduce in $\rho sen(t) \geq 0$, che, per $\rho >0$, si traduce in $ sen(t) \geq 0$, ossia $0<\theta<=pi$.

Semplicemente dal disegno ti ricavi che $0<\rho<1/2$.

Il tuo integrale su $D$ è $\int_{D} sqrt(1-p^2)d\rhod\theta$, che è quasi immediato

[Ziben]

Ciao,
io la vedo un po' diversa la cosa. Passando in coordinate polari:

$\rho sin\theta \geq 0$ essendo $\rho \geq 0$ si traduce in $sin\theta \geq 0$ e quindi $0 \leq \theta \leq pi$ come ha detto feddy

Ma dalla seconda disequazione, che diventa $\rho^2-\rho cos \theta \leq 0$ si ricava:

$\rho (\rho - cos \theta) \leq 0$ e poiché come sopra $\rho \geq 0$ si ha $\rho - cos \theta \leq 0$ ovvero $\rho \leq cos\theta$

Ora, poiché si ha sempre che $\rho \geq 0$ si ricava anche che $cos\theta \geq 0$ e quindi $-pi/2 \leq \theta \leq pi/2$ che intersecata con la precedente $0 \leq \theta \leq pi$ porta a $0 \leq \theta \leq pi/2$

Per il raggio si ha $0 \leq \rho \leq cos \theta$

Del resto, anche graficamente si vede che il dominio sta tutto nel primo quadrante e perciò $0 \leq \theta \leq pi/2$ e si vede anche che per $theta = 0$ si ha $\rho = 1$ essendo la circonferenza del dominio centrata in $(1/2,0)$ e di raggio $1/2$, quindi $\rho$ non può essere limitato a $1/2$ come valore massimo.
Che ne dite?

[feddy]

Certo Ziben, è come dici tu.Il mio errore è dovuto al fatto che nella fretta ho considerato come dominio $y>=0$e l'interno della circonferenza di raggio $1/2$ e centro $0$

Grazie per la correzione

[MrEngineer]

Sono stato abbattuto venti minuti sul fatto che $\rho$ variasse tra $0$ e $pi/2$. Ho anche modificato il messaggio due volte. La prima impressione era corretta. Grazie Ziben per aver fatto chiarezza

[Gando89]

Ciao a tutti!
Vi ringrazio per i ragionamenti condivisi =).
Effettivamente quello che ha scritto Ziben è quello che stavo cercando, cioè tutti passaggi anche logici per arrivare alla soluzione dal momento che me ne sfuggiva qualcuno.
Sei stato molto chiaro e ti ringrazio!

Avrei un'altra questione se non vi spiace, inerente a questi ragionamenti:
In un altro ex si chiedeva di calcolare il baricentro di una lamina con densità costante e superficie delimitata dai seguenti domini (la parte che mi interessa è quella, come prima, della definizione degli estremi per gli integrali, non tanto il problema del baricentro).
La funzione da integrare è: y dxdy
Il dominio:
A={ y≥0 , x^2+y^2-2x ≤ 0}

Ce n'è un'altra di regione ma ripeto mi interessa la parte sulle circonferenze e le coordinate polari.
In questo caso il ragionamento non dovrebbe essere analogo a quello fatto per l'esercizio prima?
Era un esercizio svolto in classe, e come estremi di integrazione questa volta sono stati presi:
0≤ρ≤1
0≤θ≤π
Diciamo gli estremi immediati che si possono dedurre a prima vista dal grafico.

Mi chiedevo, non c'è un modo, a seconda della situazione, per almeno intuire immediatamente se ci sarà da eseguire delle trasformazioni o gli estremi possono essere presi direttamente dal grafico?
Io per esempio, sapendo quello che avete scritto prima, a questo punto avrei trasformato x^2+y^2-2x ≤ 0 in
ρ^2 − 2ρcos (θ) ≤ 0 ecc (passaggi fatti prima per determinare ρ e θ.
Se la semicirconferenza invece fosse stata con centro nell'origine allora avrei preso gli estremi "semplici", cioè
0≤ρ≤1
0≤θ≤π

[Ziben]

Ciao,

C
Se la semicirconferenza invece fosse stata con centro nell'origine allora avrei preso gli estremi "semplici", cioè
0≤ρ≤1
0≤θ≤π

Hai detto giusto. Si può fare infatti una traslazione degli assi e portare l'origine nel centro del cerchio (semicerchio in questo caso). Facendo riferimento al tuo ultimo quesito:

$x'=x-1$ e $y'=y$. Il determinante jacobiano è 1 e l'integrale diventa:

$int_(A') y'dx'dy'$. dove $A'$ è il trasformato di $A$:

$A'={(x',y') \in R^2 | y' \geq 0, (x')^2+(y')^2-1 \leq 0}$

Ora, passando in coordinate polari avrai $0 \leq \theta \leq pi$ e $0 \leq \rho \leq 1$. Se non effettui la traslazione, come nel tuo primo quesito che abbiamo discusso gli estremi sarebbero:

$0 \leq \theta \leq pi/2$ e $0 \leq \rho \leq 2cos\theta$ e se calcoli l'integrale nei due modi si ottiene lo stesso risultato. Nota che in questo caso la funzione integranda non si modifica in maniera sostanziale per i calcoli. La determinazione "visiva" dal grafico degli estremi di integrazione, a mio avviso deve essere sempre supportata da cognizione di causa, cioè da considerazioni analitiche. Io la vedo così, ma non sono depositario di verità assoluta

[Gando89]

Ciao Ziben

Guarda per quello che ho capito a sto punto fidarsi è bene e non fidarsi è meglio, con riferimento alla frase sulla cognizione di causa. (Se poi parliamo di analisi io non mi fido e basta!)

Ma quindi gli estremi dell'esercizio risolto in classe sono errati?
O meglio, gli estremi sono giusti perchè la funzione integranda non si è modificata tra un passaggio e l'altro?
Se fosse stata diversa e si fosse modificata con le coordinate polari allora sarebbero stati errati gli estremi esatto?
Praticamente nell'esercizio risolto manca un passaggio, quello appunto della traslazione che è stato possibile non eseguire grazie alla funzione integranda?

Ok, sono molto incalzante a domanda, volevo essere sicuro di spiegarmi in maniera chiara.

Ho appena calcolato i due integrali con estremi diversi ed effettivamente viene lo stesso risultato..
Ok per non saper nè leggere nè scrivere io traslerò sempre credo in modo da non sbagliare (a patto di traslare bene, ma questa è un'altra cosa ). Credo manchi appunto quel pezzettino di "cognizione di causa" nel mio caso che mi permetterebbe di saltare dei passaggi!

Grazie mille sei stato perfetto nelle spiegazioni!