SERIE NUMERICA

[Damiano77]

Buongiorno
Dopo essere venuto a conoscenza dei paradossi di Zenone, mi è sorto un dubbio che mi assilla. Come può essere finita la somma di infiniti termini di una successione come $1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; ...$ .
Grazie in anticipo per la risposta.

[Raptorista]

Prendi una quantità finita e spezzala in infiniti termini, poi inizia a fare la somma di questi termini.

[Raptorista]

Comunque questo non dovrebbe stare in orientamento universitario.

[pilloeffe]

Ciao Damiano 77,

Per convincertene facilmente, proviamo a seguire le corrette indicazioni di Raptorista. Prendi una sbarra di ferro lunga $1$ metro ed inizia a dividerla per 2:

$frac{1}{2} + frac{1}{2}$

Poi il primo termine $frac{1}{2}$ lo lasci perdere ed il secondo lo dividi ancora per $2$:

$frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{4}$

I primi due termini li lasci perdere e l'ultimo lo dividi ancora per $2$:

$frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{8}$

E' chiaro che la procedura può proseguire indefinitamente...
Se ora immagini di saldare (con una saldatrice ideale eh... ) "tutti i pezzi" che hai ottenuto, naturalmente otterrai nuovamente la tua sbarra di ferro di $1$ metro, cioè:

$frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ... = 1$

Nota che la serie a primo membro si può scrivere nella forma seguente:

$frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ... = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/2)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/2)^n - 1$

e la serie $\sum_{n = 0}^{+\infty} (1/2)^n$ è la ben nota serie geometrica di ragione $frac{1}{2} < 1$ che converge a $2$, infatti si ha:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} (1/2)^n = frac{1}{1 - 1/2} = frac{1}{1/2} = 2$

Ecco che ritrovi la tua sbarra di $1$ metro:

$frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + ... = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/2)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (1/2)^n - 1 = 2 - 1 = 1$