Limite molto difficile

[otta96]

Ora li ho capiti, solo che in questi giorni sono un po' impegnato risponderò pienamente tra qualche giorno.

[otta96]

Rieccomi! Finalmente ho un po' di tempo libero e posso tornare a rispondere.
Dell'ultimo messaggio non mi tornano 2 cose, la prima è questa:

$underset{m \to \infty}{\text{liminf }} ( -\pi\sin^2(m) + 4m\sin^2(m) ) = 0 + 4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$

Credo che in questo passaggio si stia spezzando il liminf, quello che non mi torna è che si possa mettere l'uguaglianza, secondo me ci vorrebbe il $>=$, oppure andrebbe spiegato più in dettaglio il perché si possa fare.
La seconda è che alla fine, quando applichiamo il teorema, a $pi$, abbiamo come dici tu due successioni $p_m$ e $q_m$ t.c. etc.etc, ora il problema è che noi stiamo facendo $underset{m \to \infty}{\text{liminf }} (msin^2(m))$ dove $m=n/2+pi/4$, quindi il dominio della funzione di cui stiamo facendo il limite è ${n/2+pi/4|n\inNN}$, quindi non ce ne facciamo nulle delle successioni $p_m$ e $q_m$ perché queste sono a valori naturali, quindi non appartengono al dominio della nostra funzione.
Che ne pensate?

[Bremen000]

Non posso che darti ragione in entrambi i casi, non avevo proprio pensato a nessuna delle due cose! Sinceramente non saprei come sistemarla, speriamo che arrivi qualcuno con qualche idea!

Il metodo che ho usato va bene per far vedere che $\lim_{n \to \infty} n*|\sin(n)|$ non esiste ma in questo caso non riesco a riadattarlo bene!

[otta96]

Ho ripensato al primo problema, e mi pare che tutto sommato non sia difficile da risolvere, ecco come: basta aggirarlo!
Quello che voglio dire è che a noi interessa che $4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$ è finito $iff$ $\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n))$ è finito, non tanto che i 2 liminf sono uguali, ed è vero perché le successioni differiscono di $-\pisen^2(m)$, che è una successione limitata.
Il problema è che rimane l'altra questione, ed io non ho idea di come si possa risolvere.

[Bremen000]

Ciao, ho chiesto su math.stackexchange e mi hanno dato una risposta piuttosto complicata però esaustiva. La riporto tradotta (per il poco che c'era da tradurre) e allego il link della risposta originale.

Teorema
Siano $\theta \notin \mathbb{Q}$ e $\alpha \notin \mathbb{Z}$ tali che $x-\theta y -\alpha =0$ non abbia soluzioni intere. Allora esistono infinite coppie di interi $p$ e $q$ tali che
$$ |q(p - \theta q - \alpha)| < \frac14 $$

Lemma
Per ogni $\theta \in \mathbb{R}$ vale la disuguaglianza seguente:

$$ 0 \le 1+\sin(\frac{3}{2} \pi + \theta) \le \frac{\theta^2}{2}$$

Applicando il teorema con $\theta = \frac{1}{2\pi}$ e $\alpha = -3/4$ (che evidentemente ne verificano le ipotesi) si ha che vale:

\begin{equation}
\left|q - 2\pi\left(p+\frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2|q|}
\end{equation}

Se $q>0$ sia $n=q$ e $m=p$, altrimenti sia $n= -3q$ e $m=-3(p+1)$. La (1) diventa:
$$
\left|n - 2\pi\left(m + \frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2n} \times
\begin{cases}1, & q > 0\\ 9, & q < 0\end{cases} \Rightarrow |n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi| < \frac{9 \pi}{2n}
$$

Ora, applicando il lemma con $\theta = n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi$ si ha che esistono infiniti $n$ t.c.
$$
0 \le 1+ \sin(n) = 1 + \sin[\frac{3}{2} \pi + (n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi)] \le \frac{|n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi|^2}{2} \le \frac{81\pi^2}{8n^2}$$

Dunque
$$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) \le \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} \frac{81\pi^2}{8n}=0$$

Da cui la tesi.

Link: https://math.stackexchange.com/question ... 47_2296727

[otta96]

Scusami se ancora non ti avevo risposto, lo faccio ora comunque.
Innanzitutto grazie per lo sforzo profuso per il mio problema, che direi si può considerare risolto.
A questo punto cosa succederebbe se io fossi così malvagio da modificare il problema iniziale così?
$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n^2(1+\sin(n))$.
Per risolverlo non basta più quello che si è fatto fin'ora, si può dire solo che è $<=81pi/8$.....

[Bremen000]

In realtà così non va bene lo stesso? Avremmo un liminf finito e un limsup infinito, ergo non esiste.
Ecco, se metti $n^3$...

[otta96]

Andrebbe bene se io avessi chiesto SE esiste il limite, ma io ho chiesto proprio il liminf, comunque anche la tua idea non mi dispiace ahahahah

[Bremen000]

Ah perdonami, credevo ci stessimo focalizzando proprio sull'esistenza del limite! Girovagando su internet ho scoperto che ad esempio il valore del liminf di $n|sin(n)|$ è proprio ancora una questione aperta, quindi immagino che limiti di questo tipo siano piuttosto complicati in generale.

[otta96]

Wow!!! Ma si sa almeno se è finito?