Limite molto difficile

[otta96]

Fra i primi $n$ multipli di $pi$ ne esiste almeno uno tale che la differenza fra questo e l'intero più vicino è minore di $1/n$ quindi, per esempio, ogni milione di interi ce n'è uno che approssima $kpi$ a meno di un milionesimo ...

Questo mi sembra molto promettente, potresti spiegarmi come fai ad affermarlo? Per caso stai usando il principio dei cassetti in un modo che mi sfugge? Però non capisco come dalla proposizione segua l'esempio, non dovrebbe essere tra i primi (circa) 3141593 numeri che ce n'è uno che approssima $kpi$ a meno di un milionesimo?
Per Bremen000, purtroppo non ho capito i primi passaggi che hai fatto, puoi spiegarmeli?

[axpgn]

... Per caso stai usando il principio dei cassetti in un modo che mi sfugge?

Questo.

[axpgn]

Ho ritrovato questa vecchia discussione che può esserti utile ...

[Bremen000]

Sostanzialmente ho usato le formule di prostaferesi scrivendo $1$ come $\sin(\pi/2)$

[otta96]

Fra i primi $n$ multipli di $pi$ ne esiste almeno uno tale che la differenza fra questo e l'intero più vicino è minore di $1/n$

Ok credo di averlo capito, quindi $AA n\inNN EE k_n\inNNt.c. (k_npi-1/n,k_npi+1/n)nnNN!=\emptyset$ e quindi credo sia vero anche $AA n\inNN EE k_n\inNNt.c. ((3/2+2k_n)pi-1/n,(3/2+2k_n)pi+1/n)nnNN!=\emptyset$, sia $j_n\in ((3/2+2k_n)pi-1/n,(3/2+2k_n)pi+1/n)nnNN!=\emptyset$ se prendo come sottosuccessione $j_n$, si ha che $sen(j_n)~~sen((3/2+2k_n)pi)+(j_n-(3/2+2k_n)pi)^2/2$, da cui $n(sen(j_n)+1)~~n(1-1+(j_n-(3/2+2k_n)pi)^2/2)=n(j_n-(3/2+2k_n)pi)^2/2$, allora ricordando la definizione di $j_n$ si ha $\abs(j_n-(3/2+k_n)pi)<1/n=>\abs(n(1+sen(j_n)))~~1/(2n)$, quindi abbiamo che $\lim_{n \to \infty}j_n(1+sen(j_n))=0$, quindi il limite iniziale non esiste, che dite, può andare?
L'unica cosa che rimarrebbe da verificare qualora il resto fosse giusto è $AA n\inNN EE k_n\inNNt.c. ((3/2+2k_n)pi-1/n,(3/2+2k_n)pi+1/n)nnNN!=\emptyset$.
Fatemi sapere cosa ne pensate.

[Ernesto01]

Fra i primi $n$ multipli di $pi$ ne esiste almeno uno tale che la differenza fra questo e l'intero più vicino è minore di $1/n$ quindi, per esempio, ogni milione di interi ce n'è uno che approssima $kpi$ a meno di un milionesimo ...

A me non sembra che ogni $2$ interi ce nè uno che approssima $kpi$ per meno di $1/2$
Cioè, se prendo $1,2$ la loro distanza da $0,pi$ non è mai meno di $1/2$.
Anche se è difficile trovare un controesempio più grande dato che $7pi=21,9911...ect$ che è vicinissimo a $22$, servirebbe almeno un $n$ maggiore di 100 e a mano non si riesce.

Per la dimostrazione di bremen invece, è molto originale però in alcuni punti non mi è chiara, tipo qui:

$|\sin(p_m)| =|\sin(p_m)-\sin(q_m \pi)| < |p_m-q_m \pi|$

Questa a me non sembra tanto evidente

[Bremen000]

in alcuni punti non mi è chiara, tipo qui:

$ |\sin(p_m)| =|\sin(p_m)-\sin(q_m \pi)| < |p_m-q_m \pi| $

Questa a me non sembra tanto evidente

La prima uguaglianza è dovuta al fatto che il $\sin(k\pi)=0$ con $k$ intero e $q_m$ lo è.
La disuguaglianza è dovuta alla lipschitzianità del seno.

[axpgn]

@Ernesto01
La frase dopo la virgola è imprecisa mentre quella prima è corretta ... ... nel link è spiegato meglio ...

La riscrivo ...

Dati i primi $n$ multipli di $pi$ ne esiste almeno uno (diciamo $k$ con $1<=k<=n$) tale che $|kpi-m|<1/n$ dove $m$ è un intero positivo (non necessariamente compreso tra $1$ e $n$ anzi ...)

[otta96]

$\lim_{n} n(1+\sin(n)) = \lim_{n} 2n\sin^2(n/2+\pi/4) = \lim_{m} 4(m-\pi/4)\sin^2(m)$

Comunque io veramente non riesco a capire questi passaggi, ho provato come avevi detto ma non mi torna.
Ma della dimostrazione che avevo dato io nell'ultimo post cosa ne pensate?

[Bremen000]

Provo a scriverla facendo tutti i passaggi, spero che ora sia chiara:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Usando le formule di prostaferesi:

$1+\sin(n) = \sin(\pi/2)+\sin(n) = 2\sin(\frac{n+\pi/2}{2})\cos(\frac{n-\pi/2}{2}) = 2\sin(n/2+\pi/4)\cos(n/2-\pi/4)= 2\sin(n/2+\pi/4)\cos(-n/2+\pi/4)=2\sin(n/2+\pi/4)\sin(\pi/2-(-n/2+\pi/4))=2\sin(n/2+\pi/4)\sin(n/2+\pi/4) = 2\sin^2(n/2+\pi/4)$

Quindi abbiamo

$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) = \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} 2n\sin^2(n/2+\pi/4)$

Usando il cambio di variabile $m=n/2+\pi/4$ allora $n=2(m-\pi/4)$ e inoltre se $n \to \infty$ anche $m \to \infty$ quindi:

$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) = \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} 2n\sin^2(n/2+\pi/4) = \underset{m \to \infty}{\text{liminf }} 4(m-\pi/4)\sin^2(m) = \underset{m \to \infty}{\text{liminf }} ( -\pi\sin^2(m) + 4m\sin^2(m) ) = 0 + 4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m) = 4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$

Quindi se dimostriamo che $4\underset{m \to \infty}{\text{liminf }}m\sin^2(m)$ è finito abbiamo che $\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n))$ è finito, che è quello che vogliamo dimostrare.


Applicando il teorema prima citato a $\pi$, ci sono dunque $p_m$ e $q_m$ successioni divergenti t.c. $|p_m-q_m \pi| < \frac{1}{q_m}$ e $\frac{p_m}{q_m}$ converge a $\pi$.

Sfruttando ora il fatto che
1. $\sin(k\pi)=0$ con $k$ intero e $q_m$ è intero
2. Il seno è una funzione lipschitziana

abbiamo
$|\sin(p_m)| =|\sin(p_m)-\sin(q_m \pi)| < |p_m-q_m \pi| <\frac{1}{q_m} $ e dunque $|\sin(p_m)|^2 < \frac{1}{q_m^2}$.


Scegliendo ora come sottosuccessione di $m$, da applicare al limite di $m\sin^2(m)$, proprio $p_m$ (che sappiamo divergere positivamente) si ha

$\lim_{m \to \infty} \p_m \sin^2(p_m) < \lim_{m \to \infty} \frac{p_m}{q_m^2} =0$

e dunque abbiamo la tesi.