Ciao, ho chiesto su math.stackexchange e mi hanno dato una risposta piuttosto complicata però esaustiva. La riporto tradotta (per il poco che c'era da tradurre) e allego il link della risposta originale.
Teorema
Siano $\theta \notin \mathbb{Q}$ e $\alpha \notin \mathbb{Z}$ tali che $x-\theta y -\alpha =0$ non abbia soluzioni intere. Allora esistono infinite coppie di interi $p$ e $q$ tali che
$$ |q(p - \theta q - \alpha)| < \frac14 $$
Lemma
Per ogni $\theta \in \mathbb{R}$ vale la disuguaglianza seguente:
$$ 0 \le 1+\sin(\frac{3}{2} \pi + \theta) \le \frac{\theta^2}{2}$$
Applicando il teorema con $\theta = \frac{1}{2\pi}$ e $\alpha = -3/4$ (che evidentemente ne verificano le ipotesi) si ha che vale:
\begin{equation}
\left|q - 2\pi\left(p+\frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2|q|}
\end{equation}
Se $q>0$ sia $n=q$ e $m=p$, altrimenti sia $n= -3q$ e $m=-3(p+1)$. La (1) diventa:
$$
\left|n - 2\pi\left(m + \frac34\right)\right| < \frac{\pi}{2n} \times
\begin{cases}1, & q > 0\\ 9, & q < 0\end{cases} \Rightarrow |n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi| < \frac{9 \pi}{2n}
$$
Ora, applicando il lemma con $\theta = n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi$ si ha che esistono infiniti $n$ t.c.
$$
0 \le 1+ \sin(n) = 1 + \sin[\frac{3}{2} \pi + (n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi)] \le \frac{|n-2\pi m -\frac{3}{2} \pi|^2}{2} \le \frac{81\pi^2}{8n^2}$$
Dunque
$$\underset{n \to \infty}{\text{liminf }} n(1+\sin(n)) \le \underset{n \to \infty}{\text{liminf }} \frac{81\pi^2}{8n}=0$$
Da cui la tesi.
Link:
https://math.stackexchange.com/question ... 47_2296727
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)