Limite molto difficile

[otta96]

L'anno scorso durante Analisi 1 mi è venuto in mente un limite apparentemente niente di che, ma che si è rivelato particolarmente difficile, che non so tutt'ora risolvere, volevo sapere se qualcuno di voi riesce a risolverlo ed possibilmente spiegarmi come si fa.
Il limite è questo: $\lim_{n \to \infty}n(1+sen(n))$.

[Bremen000]

Prova a guardare qua

successione-non-regolare-sin-n-t104798.html

[pilloeffe]

Ciao otta96,

In generale si ha:

$- 1 \le \sin n \le 1$

Quindi

$- 1 + 1 \le 1 + \sin n \le 1 + 1$
$0 \le 1 + sin n \le 2$
$0 \cdot n \le n(1 + \sin n) \le 2 \cdot n$
$0 \le n(1 + \sin n) \le 2n$

Potrei sbagliarmi, ma mi sa che per $n \to +\infty$ (ma anche per $n \to -\infty$) non esiste...

[Ernesto01]

Uhm , è un po' un ragionamento strano il tuo.
Cioè fai una stima, poi dimostri che la stima non funziona, e poi concludi che il limite non esiste.
Il liminf=0 mi sembra complicato da dimostrare, il limsup fa sicuramente $oo$

[axpgn]

Il seno è una funzione oscillante e non ha limite all'infinito ... aggiungere $1$ non ne cambia il comportamento, la alza e basta ... moltiplicarla per la variabile poi non fa altro che aumentarne l'ampiezza rendendo le oscillazioni sempre più grandi ...

[otta96]

Eh ma i punto è che non sai se (e io credo sia vero) esistono sottosuccessioni che convergono ad un numero positivo o nullo.
Ernesto01 ha colto nel segno dicendo che il limsup è +$\infty$, il problema è di calcolare il liminf.
Per rispondere a Bremen000, ciò che è stato detto in quel post mi era già noto, il problema è che non ci aiuta in alcun modo, in particolare, dato che -1 è un punto di accumulazione dell'immagine di sen(n), non possiamo escludere facilmente che il limite debba essere +$\infty$.

[Ernesto01]

Dunque, sia ${a_n}$ la successione con $a_n=sin(n)+1$. Notiamo inoltre che $a_n>0$, infatti $sin(n)!=-1$ sempre.
Il limsup fa banalmente infinito.
Per il liminf:
Quello che voi affermate sarebbe dimostrare che esiste una sottosuccessione ${a_(n_k)}$ decrescente e tale che $lim_(k->oo) a_(n_k)n_k=0$ ma è un limite $oo*0$ e non è una conseguenza immediata del fatto che il seno è oscillante ed è compreso fra $(-1,1)$.
Il punto è che sicuramente esiste un $n_0$ tale che il $sen(n_0)+1$ è arbitrariamente piccolo, ma magari $(sin(n_0)+1)*n_0$ è comunque infinito da un certo $n_0$ in poi, anche se intuitivamente direi di no.
Io non saprei risolvere, probabilmente bisognare fare delle stime dei multipli di pigreco con i numeri interi.
Direi di aspettare qualcuno più ferrato

[otta96]

Smanettando un po' con la calcolatrice, il primo valore "sospettosamente piccolo" che compare è per n=11, viene circa $10^(-4)$, il che ovviamente non dimostra nulla, ma fa capire che questa successione può anche assumere valori molto piccoli.

[axpgn]

Fra i primi $n$ multipli di $pi$ ne esiste almeno uno tale che la differenza fra questo e l'intero più vicino è minore di $1/n$ quindi, per esempio, ogni milione di interi ce n'è uno che approssima $kpi$ a meno di un milionesimo ...

[Bremen000]

Tutto quello che sto per scrivere è passibile di errori madornali vista l'ora e la mia poca familiarità con le frazioni continue.


$\lim_{n} n(1+\sin(n)) = \lim_{n} 2n\sin^2(n/2+\pi/4) = \lim_{m} 4(m-\pi/4)\sin^2(m) = 4\lim_{m} m\sin^2(m) -\pi/4sin^2(m) $

Se si prova che $\underset{m}{\text{liminf }}\sin^2(m)$ è limitato abbiamo che il limite non esiste.

Girando un po' su internet sono riuscito a trovare questo:

Teorema
Dato un numero irrazionale $\alpha$ esistono due successioni di interi divergenti $p_m$ e $q_m$ con $q_m>0$ tali che $\frac{p_m}{q_m}$ converge ad $\alpha$ e tali che $|p_m-q_m\alpha| < \frac{1}{q_m}$.

Applicandolo a $\pi$ ci sono dunque $p_m$ e $q_m$ t.c. $|p_m-q_m \pi| < \frac{1}{q_m}$ e $\frac{p_m}{q_m}$ converge a $\pi$.

Ma vale $|\sin(p_m)| =|\sin(p_m)-\sin(q_m \pi)| < |p_m-q_m \pi| <\frac{1}{q_m} $ e dunque $|\sin(p_m)|^2 < \frac{1}{q_m^2}$.

Scegliendo ora come sottosuccessione di $n$ proprio $p_m$ si ha

$\lim_{m} \p_m \sin^2(p_m) < \frac{p_m}{q_m^2} =0$