Calcolo periodo comune di funzioni sinusoidali: dubbi sulla moltiplicazione

[curiosone]

Ciao ragazzi, ho un dubbio "banale" che però in rete non riesco a capire. Andiamo per gradi.

Consideriamo di avere le funzioni sinusoidali seno e coseno ciascuna con un proprio periodo:
Prima funzione sinusoidale => periodo A = (N1)/(D1)
Seconda funzione sinusoidale => periodo B = (N2)/(D2)

Calcolo periodo comune di una somma/differenza di due funzioni sinusoidali:
In questo caso otteniamo una funzione periodica con periodo T dato da: mcm(N1, N2) diviso MCD(D1, D2).

Calcolo periodo comune di un prodotto di due funzioni sinusoidali:
In questo caso otteniamo una funzione periodica ma con che periodo T?

[gugo82]

Beh, già sulla somma ci sarebbe da dire...

Ad esempio, le sinusoidi \(f_1(x):=\sin \sqrt{2} x\) ed \(f_2(x):=\sin \sqrt{3} x\) sono periodiche di periodi \(T_1=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}\) e \(T_2=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\), ma la funzione somma:
\[
f(x):=\sin \sqrt{2} x + \sin \sqrt{3} x
\]
non è affatto periodica... Quindi c'è qualcosa che non torna.
Il problema è che i periodi di $f_1$ ed $f_2$ non sono multipli razionali di uno stesso numero reale.

Non è che i tuoi periodi sono razionali? O, quanto meno, multipli razionali di $\pi$ (o di un altro numero reale)?

[curiosone]

Ciao scusami se ti rispondo solo ora ma sono stato assente per motivi di salute.
Si, mi sono dimenticato di dire che i periodi sono in rapporto razionale tra loro, cioè che P1 e P2 (i due periodi delle funzioni periodiche) se posti in rapporto, determinano un numero razionale.

Ti vorrei chiedere: per il prodotto (o divisione) di due funzioni sinusoidali, il procedimento per ottenere il periodo della funzione complessiva, è come quello della somma/differenza?

Grazie

[gugo82]

Allora, del tutto in generale, prendiamo due funzioni $f_1, f_2:RR -> RR$ periodiche di periodi $T_1$ e $T_2$ con $T_1/T_2=p/q$ ridotta ai minimi termini, di modo che esiste un numero $T$ (reale) tale che $T_1=pT$ e $T_2=qT$.
Ogni combinazione lineare di tali funzioni (se non costante) è una funzione periodica, con periodo che è un multiplo intero di $T$, i.e. \(mT\) con \(m=\operatorname{mcm}(p,q)\).
Per mostrare ciò, basta osservare che:
\[
\left. \begin{split} f_1(x+mT) &= f_1(x+p*(kT))=f_1(x)\\ f_2(x+mT) &= f_2(x+q*(hT))=f_2(x)\end{split}\right\}\quad \Rightarrow \quad C_1f_1(x+mT) + C_2f_2(x+mT) = C_1f_1(x) + C_2f_2(x)\; .
\]
Inoltre, poiché \(m\) è il più piccolo multiplo comune di $p$ e $q$, $mT$ è il minimo periodo della combinazione lineare.

Per il prodotto, invece, la cosa è più complicata, perché ad esempio il valore di $f_1(x+kT)*f_2(x+kT)$ può essere uguale ad $f_1(x)*f_2(x)$ anche senza che necessariamente risultino uguali i due fattori che lo compongono... Un esempio classico è dato da $\sin x *\cos x$ che è uguale a $\sin (x+\pi)*\cos (x+\pi)$ sempre, nonostante in generale si abbia \(\sin (x+\pi)\neq \sin x, \cos x\) e \(\cos (x+\pi)\neq \cos x, \sin x\).
Tuttavia,nota che un prodotto di seni, di coseni o misto può sempre essere ricondotto ad una combinazione lineare di seni e coseni mediante le formule di Werner; quindi si può calcolare il periodo di un prodotto riconducendolo ad una combinazione lineare.

[curiosone]

Cavoli, è molto più complesso di quanto immaginassi!
Quindi, un GRAZIE ci sta davvero tutto!
Ho fatto questa domanda perché sto lavorando con le trasformate di Fourier (ho aperto una discussione in cui svolgo un esercizio non banale riguardo Fourier e ti volevo chiedere, se fossi possibilitato, di poter dar un'occhiata per capire se avessi commesso qualche errore! La mia idea è di fare alcuni esercizi sulle trasformate e di postarli qui sul forum, per aiutare qualcuno in futuro! Grazie mille per tutto!).