Problema con le serie.

[salvolaiacona]

Salve a tutti,apro una nuova discussione perchè ho davvero un disperato bisogno di capire le serie,non riesco ad entrare nel meccanismo,e ovviamente entro nel pallone,vorrei il vostro aiuto per capire meglio queste serie per determinarne il carattere,alcune le ho svolte,o meglio ci ho provato e non so se siano giuste.So che forse sono molte,non chiedo di farle tutte(anche se lo preferirei )ma almeno vorrei riuscire a capirne alcune.
Devo determinare il carattere delle seguenti serie :
1) $ sum_{n=1}^\infty (arctg (n!) + sqrt(n))/(n+1) $
2) $ sum_{n=1}^\infty (e^((sqrt(n) +1 )/sqrt(n)))/sqrt(n) $
3) $ sum_{n=1}^\infty (1 - nlog(1+1/n))/n $
4) $ sum_{n=1}^\infty (-1)^n (n-sqrt(n^2 + 2)) $ (ho usato il criterio di Liebnitz e ho trovato che questa è convergente)
5) $ sum_{n=1}^\infty (n^2 +2^n)/(n + 3^n) $ (questa l'ho fatto usando il criterio della radice e ho trovato che la serie è convergente ma non ne sono sicuro)
6) $ sum_{n=1}^\infty (-1)^n (log(sqrt(n)+1)-log(sqrt(n))) $
7) $ sum_{n=1}^\infty (log^2(n+1) -log^2 (n))/n $ (ho usato il criterio del confronto,confrontando la serie con $ 1/n $ arrivando alla conclusone che essa è divergente)


Grazie anticipatamente a chi avrà la pazienza e la bontà di aiutarmi.

[studente-studente]

Ti dico come avrei fatto io:
1) $ arctan(n!)~ n!, n->infty $ allora $ lim_(n->infty)(n!+sqrt(n))/sqrt(n)=infty $ allora non essendo soddisfatta la condizione necessaria (ma non sufficiente) diciamo che la serie diverge
6) ho usato criterio di Leibniz e la serie data converge

[pilloeffe]

Ciao salvolaiacona,

1) $sum_{n=1}^{+\infty} (\arctan (n!) + sqrt(n))/(n+1) > sum_{n=1}^{+\infty} (sqrt(n))/(n) = sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(sqrt(n)) \implies $ divergente

2) $sum_{n=1}^{+\infty} (e^((sqrt(n) +1 )/sqrt(n)))/sqrt(n) > sum_{n=1}^{+\infty} 1/sqrt(n) \implies $ divergente

3) $sum_{n=1}^{+\infty} (1 - nlog(1+1/n))/n < sum_{n=1}^{+\infty} (1/n)/n = sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $ convergente

4) $sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (n-sqrt(n^2 + 2)) $ come hai già scritto, converge per il criterio di Leibnitz

5) $sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 +2^n)/(n + 3^n) $ converge per il criterio del rapporto

6) $sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (log(sqrt(n)+1)-log(sqrt(n))) = sum_{n=1}^\infty (-1)^n log(1+1/sqrt(n))$ converge per il criterio di Leibnitz

7) $sum_{n=1}^{+\infty} (log^2(n+1) -log^2 (n))/n < sum_{n=1}^{+\infty} n^{-1/4}/n = sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5/4}} \implies $ convergente

[salvolaiacona]

Grazie mi sei stato utilissimo,grazie mille davvero.

[salvolaiacona]

Ciao salvolaiacona,

1) $sum_{n=1}^{+\infty} (\arctan (n!) + sqrt(n))/(n+1) > sum_{n=1}^{+\infty} (sqrt(n))/(n) = sum_{n=1}^{+\infty} (1)/(sqrt(n)) \implies $ divergente

2) $sum_{n=1}^{+\infty} (e^((sqrt(n) +1 )/sqrt(n)))/sqrt(n) > sum_{n=1}^{+\infty} 1/sqrt(n) \implies $ divergente

3) $sum_{n=1}^{+\infty} (1 - nlog(1+1/n))/n < sum_{n=1}^{+\infty} (1/n)/n = sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $ convergente

4) $sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (n-sqrt(n^2 + 2)) $ come hai già scritto, converge per il criterio di Leibnitz

5) $sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 +2^n)/(n + 3^n) $ converge per il criterio del rapporto

6) $sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (log(sqrt(n)+1)-log(sqrt(n))) = sum_{n=1}^\infty (-1)^n log(1+1/sqrt(n))$ converge per il criterio di Leibnitz

7) $sum_{n=1}^{+\infty} (log^2(n+1) -log^2 (n))/n < sum_{n=1}^{+\infty} n^{-1/4}/n = sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{5/4}} \implies $ convergente

ciao scusa ho un dubbio nella 7),non capisco dove trovi quel $ n^(-1/4) $
e poi ho altre due serie a cui non sono venuto a capo:
$sum_{n=1}^{+\infty} ((-1)^n +cos(n!))/(n^2+1) $
in questa avevo pensato di dividere la frazione nella somma di due elementi cioè :
$ (-1)^n/(n^2+1) $ e $ (cos(n!))/(n^2+1) $
e studiare la prima con il criterio di Liebnitz e la seconda magari con il l'assoluta convergenza dato che potrei considerare $-1<cos(n!)<1$.Che ne dici faccio bene oppure è tutto sbagliato?
la seconda invece è $sum_{n=1}^{+\infty}(1-nlog(1+1/n))/n $
avevo pensato di dividerla ma credo che il resto del mio ragionamento sia sbagliato perchè viene una divergente l'altra convergente per il criterio della radice,e quindi credo di aver sbagliato,potete aiutarmi?

[pilloeffe]

Ciao salvolaiacona,

nella 7),non capisco dove trovi quel $n^{-1/4}$

Basta che tieni presente che

$log^2(n+1) -log^2 (n) =(log(n + 1) - log(n))(log(n + 1) + log(n)) =$
$= log(1 + frac{1}{n})((log(n + 1) + log(n)) $

Ora il primo fattore non dà problemi perché si comporta come $1/n$ per $n \to infty$, per il secondo basta usare il fatto che definitivamente un logaritmo è maggiorato da qualsiasi potenza positiva di $n$: $lim_{n \to +\infty} frac{log(n)}{n^{\beta}} = 0$. Ho usato $n^{-1/4}$ per comodità, ma potevo usare anche $2n^{-1/2}$, $2n^{-1/3}$, $n^{-1/5}$ o simili... Vedi anche qui

faccio bene oppure è tutto sbagliato?

Fai bene, ma anche per la prima puoi studiare l'assoluta convergenza e trovi che converge.

la seconda invece è

... uguale alla 3) e quindi convergente.

[salvolaiacona]

Ciao salvolaiacona,

nella 7),non capisco dove trovi quel $n^{-1/4}$

Basta che tieni presente che

$log^2(n+1) -log^2 (n) =(log(n + 1) - log(n))(log(n + 1) + log(n)) =$
$= log(1 + frac{1}{n})((log(n + 1) + log(n)) $

Ora il primo fattore non dà problemi perché si comporta come $1/n$ per $n \to infty$, per il secondo basta usare il fatto che definitivamente un logaritmo è maggiorato da qualsiasi potenza positiva di $n$: $lim_{n \to +\infty} frac{log(n)}{n^{\beta}} = 0$. Ho usato $n^{-1/4}$ per comodità, ma potevo usare anche $2n^{-1/2}$, $2n^{-1/3}$, $n^{-1/5}$ o simili... Vedi anche qui

faccio bene oppure è tutto sbagliato?

Fai bene, ma anche per la prima puoi studiare l'assoluta convergenza e trovi che converge.

la seconda invece è

... uguale alla 3) e quindi convergente.

si vero scusami ma mi ero totalmente scordato che avevo già postato la serie,unasvista colossale .
Intanto grazie perchè hai risolto molti miei dubbi,come ad esempio il fatto di poter scomporre il termine generale in due frazioni o comunque elementi distinti da poter studiare separatamente,credevo di stare per commettere qualcosa di aberrante.Piccola precisazione su questo se vedo che ambedue le serie che ottengo sono convergenti allora anche la serie di partenza(cioè la frazione senza essere scomposta) converge no?E poi nel caso in cui ad esempio una converge e l'altra diverge?
Inoltre per quanto riguarda la 3) scervellandomi sono arrivato ad una conclusione(possibilmente anche sbagliata)non si potrebbe scrivere il logaritmo con Taylor?Cioè :
$ log(1+1/n)=1/n -1/(2n^2) $
alla fine se non ho sbagliato nessun calcolo dovrebbe venire convergente proprio come viene a te.
Altra cosa sempre sulla 3) ma per quanto riguarda il tuo svolgimento hai usato confronto asintotico o confronto?

[pilloeffe]

se vedo che ambedue le serie che ottengo sono convergenti allora anche la serie di partenza(cioè la frazione senza essere scomposta) converge no?

E poi nel caso in cui ad esempio una converge e l'altra diverge?

Diverge, con qualche cautela se i termini non sono tutti positivi: ad esempio, proprio nella serie in esame, se la dividi in due ognuna delle due "sottoserie" è divergente, ma sarebbe un errore concludere che la loro differenza, cioè la serie complessiva, è divergente (come abbiamo visto).

per quanto riguarda la 3) scervellandomi sono arrivato ad una conclusione(possibilmente anche sbagliata)non si potrebbe scrivere il logaritmo con Taylor?

Altra cosa sempre sulla 3) ma per quanto riguarda il tuo svolgimento hai usato confronto asintotico o confronto?

Beh, confronto: qui non dovresti avere dubbi, perché nei confronti ci sono le disuguaglianze, nelle stime asintotiche il simbolo di solito è \( \displaystyle \sim \) .