Matematicamente.it

Nel mio libro di analisi, nell'introdurre le equazioni differenziali dice che l'equazione differenziale di primo ordine

$ u'(t) = f(t) $

ha come soluzione

$ u(t) = int_(a)^(t) f(s) ds $

Non comprendo il perché usare la funzione integrale e non semplicemente l'integrale indefinito

infatti se pongo

$ int_()^() u'(t) dt=u(t)+c $

e

$ int_()^() f(t) dt=F(t)+c $

ed applico l'integrale definito ad entrambi i membri ottengo

$ u(t)=F(t)-F(a)+u(a) $

e conseiderando che

$ -F(a)+u(a) $

è un valore costante, quindi ottengo una primitiva.

Ok, ci sta, ma perché tutto questo casino quando si poteva esprimere il tutto tramite l'integrale indefinito?
Qualcuno mi illumina?

Ciao ThisMan,

Integrale indefinito = funzione integrale + c

cioè integrale indefinito e funzione integrale differiscono per una costante. Alle volte può essere più comodo usare la funzione integrale come in questo caso, ma anche in questo. Poi, detto fra noi, anch'io preferisco usare l'integrale indefinito per le equazioni differenziali...

$u'(t) = 1/t$

Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

Fioravante Patrone ha scritto:$ u'(t) = 1/t $

Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

$ ln |t|+c $

pilloeffe ha scritto:Ciao ThisMan,

Integrale indefinito = funzione integrale + c

cioè integrale indefinito e funzione integrale differiscono per una costante. Alle volte può essere più comodo usare la funzione integrale come in questo caso, ma anche in questo. Poi, detto fra noi, anch'io preferisco usare l'integrale indefinito per le equazioni differenziali...

Be', in effetti la derivata non cambia nel punto $x$ al variare di $a$, nella funzione integrale, quindi risulta irrilevante il punto $a$ su cui si sviluppa un estremo di integrazione (al massimo il grafico della funzione integrale, al variare di $a$ "shifta" di una costante, come ben dici), perciò come definizione è abbastanza soddisfacente

In sostanza è per non rendere ambigua la costante arbitraria, giusto? Alla fine la costante diventa quella che ho scritto nel post iniziale. In ogni caso procedendo in questo modo non si vanno a pardere tutta l'infinità di soluzioni possibili dell'equazione differenziale?
Mi viene da pensare che definirla in questo modo è come imporre un problema di cauchy dove $y(a)=0$, no?

ThisMan ha scritto:

Fioravante Patrone ha scritto:$ u'(t) = 1/t $

Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

$ ln |t|+c $

Io mi sarei posto alcune domande, di fronte a un quesito così banale.
Sembra che tu non l'abbia fatto, per cui te ne faccio una io: puoi specificare dove è definita l'equazione differenziale e dove sono definite le sue soluzioni?

Fioravante Patrone ha scritto:

ThisMan ha scritto:

Fioravante Patrone ha scritto:$ u'(t) = 1/t $

Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

$ ln |t|+c $

Io mi sarei posto alcune domande, di fronte a un quesito così banale.
Sembra che tu non l'abbia fatto, per cui te ne faccio una io: puoi specificare dove è definita l'equazione differenziale e dove sono definite le sue soluzioni?

be', guardando l'equazione mi sembra definita su R, quindi la sua soluzione dovrebbe essere definita in R-->R
No?

ThisMan ha scritto:guardando l'equazione mi sembra definita su $\RR$

ThisMan, riguardala con più attenzione...

pilloeffe ha scritto:

ThisMan ha scritto:guardando l'equazione mi sembra definita su $\RR$

ThisMan, riguardala con più attenzione...

Adesso entro in crisi

Vediamo, l'equazione è scritta in forma normale, quindi
$ u'=f(t) $

ma in effetti $u'$ è anche una variabile, quindi potrei riscrivere il tutto come

$f(t,u')=0$

Quindi $R^2$?

Fioravante Patrone ha scritto:$u'(t) = 1/t$

Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

Magnifica risposta!

(non posso resistere alla tentazione di rimarcare il mio abolizionismo verso il simbolo di integrale indefinito)

Non voglio lasciar cadere questo post, più che altro perché sono curioso...

@ThisMan: dai, non diciamo sciocchezze... Ai miei tempi, per molto meno, una delle frasi del docente che ti stava esaminando poteva essere qualcosa del tipo "Guardi, per me può anche tornare la prossima volta... ", oppure "Si può accomodare...". Giurassico, mi rendo conto, adesso i tempi sono cambiati: però credo che si stia un filino esagerando dall'altra parte, anche se ovviamente riesco a comprenderne perfettamente i motivi.

@Fioravante Patrone:

Fioravante Patrone ha scritto:E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?

Non è che non voglio risponderti, è che proprio non ho capito cosa mi chiedi... Ma è senz'altro colpa mia. D'altronde devi aver pazienza, sono solo un "diversamente giovane" ingegnere elettronico appassionato di matematica che si è laureato 20 anni fa e scrive sul forum ad orari assurdi (quando i bimbi dormono): un po' di "ruggine" ci può stare, poi magari certe questioni non sono neanche alla mia portata...

@dissonance:

dissonance ha scritto:(non posso resistere alla tentazione di rimarcare il mio abolizionismo verso il simbolo di integrale indefinito)

Oddio, non è che l'integrale indefinito mi sia particolarmente simpatico, anche se in talune circostanze ne apprezzo la comodità, ma che esistesse perfino un "movimento abolizionista" nei suoi confronti onestamente lo ignoravo... Però se le motivazioni mi convincono magari potrei anche entrare a far parte degli adepti del MASII (Movimento Abolizionista Simbolo di Integrale Indefinito).