Equazioni differenziali senza soluzione

[antonio9992]

Salve,
qualcuno sa se esistono equazioni differenziali che non hanno una soluzione?

[Raptorista]

Ce n'è una marea, molte più di quelle che ammettono soluzione! Sei interessato a problemi di Cauchy o a problemi al bordo?

[antonio9992]

Equazioni differenziali in generale, problemi al bordo, e si, anche di Cauchy.

Io in verità volevo capire se esistono problemi la cui soluzione non è esprimibile analiticamente, cioè grazie ad una funzione, ma che sia approssimabile col metodo delle differenze finite

e quindi se si possa dire che esistono problemi differenziali che somigliano per un certo verso alle equazioni con grado maggiore di due: richiedono una soluzione con caratteristiche che non possono essere soddisfatte.

(E poi so che per funzioni armoniche si può far uso delle serie di Fourier e la soluzione si esprime come somma di infiniti termini... ma di questo magari ci occuperemo più tardi.)

[Raptorista]

Ma queste sono due cose diverse...
Un conto è che la soluzione non esista, un conto è che la soluzione non sia esprimibile analiticamente. Ancora una volta, quest'ultimo è il caso di gran lunga più frequente.

Cerca di spiegare bene cosa vuoi sapere.

[antonio9992]

Allora nel caso banale in cui la soluzione di un equazione differenziale sia una funzione abbiamo bisogno poi di una serie di condizioni al contorno perché nella soluzione compaiono delle costanti (rispetto alla derivazione), troppe condizioni al contorno non ci danno una soluzione, o meglio scartandone alcune arriviamo ad una soluzione che risulta però differente al variare delle condizioni al contorno scartate.

Vorrei capire nel caso in cui dovessi avere un'equazione non avente soluzione esprimibile tramite una combinazione di funzioni allora, credo, ci siano due strade:

1) le condizioni al contorno sono in eccesso, e non esiste soluzione neanche col metodo delle differenze finite (come prima: in realtà abbiamo più soluzioni dipendenti dalla scelta delle condizioni al contorno scartate);

2) si possiede un numero esatto di condizioni al contorno, e dato che non esiste una funzione che sia soluzione, si deve applicare il metodo delle differenze finite (credo ma non so)[ come nel caso del contorno avente forma rettangolare in diverse applicazioni ingegneristiche]

[dissonance]

Salve,
qualcuno sa se esistono equazioni differenziali che non hanno una soluzione?

Si.
\[
f'=f'+1.\]

[Raptorista]

Allora nel caso banale in cui la soluzione di un equazione differenziale sia una funzione abbiamo bisogno poi di una serie di condizioni al contorno perché nella soluzione compaiono delle costanti (rispetto alla derivazione), troppe condizioni al contorno non ci danno una soluzione, o meglio scartandone alcune arriviamo ad una soluzione che risulta però differente al variare delle condizioni al contorno scartate.

Vorrei capire nel caso in cui dovessi avere un'equazione non avente soluzione esprimibile tramite una combinazione di funzioni allora, credo, ci siano due strade:

1) le condizioni al contorno sono in eccesso, e non esiste soluzione neanche col metodo delle differenze finite (come prima: in realtà abbiamo più soluzioni dipendenti dalla scelta delle condizioni al contorno scartate);

2) si possiede un numero esatto di condizioni al contorno, e dato che non esiste una funzione che sia soluzione, si deve applicare il metodo delle differenze finite (credo ma non so)[ come nel caso del contorno avente forma rettangolare in diverse applicazioni ingegneristiche]

Questo è tutto sbagliato, è così sbagliato che non so nemmeno da dove iniziare a correggere.

In particolare, mi lascia perplesso

Allora nel caso banale in cui la soluzione di un equazione differenziale sia una funzione

[Raptorista]

Allora, la soluzione di una equazione differenziale è sempre una funzione [escludendo analisi funzionale troppo difficile per questa discussione]. Una funzione che non si può esprimere con funzioni comuni è comunque una funzione.

Detto ciò, è necessario che tu faccia chiarezza nella tua testa sui significati dei vari termini, ci pensi un po' e poi ponga domande concise e mirate, non questi papiri incomprensibili a cui sinceramente non so nemmeno come dare risposta.

[antonio9992]

Mi hai detto di spiegarmi meglio e l'ho fatto.

Comunque il succo era: esistono problemi differenziali la cui soluzione esista, e con ciò voglio dire risolvibili con il metodo delle differenze finite, ma che non sia una funzione?

Prendo come esempio l'ingegneria in cui spesso i problemi differenziali presentano valori noti su di un bordo squadrato e si utilizza il metodo delle differenze finite perché non si può agire altrimenti.(Ho visto in un caso l'applicazione di un metodo simile a quello di Fourier dove la soluzione si scrive come somma di infiniti termini.)

[Raptorista]

Questo che tu chiami "succo" non ha senso: la soluzione di un'equazione differenziale è una funzione con certe proprietà. Quindi non ha senso chiedere se esista una soluzione che non sia una funzione.
Il fatto che un'equazione differenziale sia ""risolvibile"" con differenze finite non vuol dire niente se non esiste soluzione, e se applicandole il FDM ti esce qualcosa, è probabile che quella cosa non abbia a che fare con la soluzione del problema di partenza.