Equazioni differenziali senza soluzione

[antonio9992]

Questo che tu chiami "succo" non ha senso: la soluzione di un'equazione differenziale è una funzione con certe proprietà. Quindi non ha senso chiedere se esista una soluzione che non sia una funzione.
Il fatto che un'equazione differenziale sia ""risolvibile"" con differenze finite non vuol dire niente se non esiste soluzione, e se applicandole il FDM ti esce qualcosa, è probabile che quella cosa non abbia a che fare con la soluzione del problema di partenza.

Ma perché esiste un metodo di risoluzione di problemi differenziali diverso dal metodo delle differenze finite quando il bordo è rettangolare?

[PadreBishop]

Equazioni differenziali in generale, problemi al bordo, e si, anche di Cauchy.

Io in verità volevo capire se esistono problemi la cui soluzione non è esprimibile analiticamente, cioè grazie ad una funzione, ma che sia approssimabile col metodo delle differenze finite

e quindi se si possa dire che esistono problemi differenziali che somigliano per un certo verso alle equazioni con grado maggiore di due: richiedono una soluzione con caratteristiche che non possono essere soddisfatte.

(E poi so che per funzioni armoniche si può far uso delle serie di Fourier e la soluzione si esprime come somma di infiniti termini... ma di questo magari ci occuperemo più tardi.)

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado

https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quarto_grado

Non capisco che abbiano di strano le "equazioni di grado maggiore di due" finche' sono equazioni polinomiali (e quindi si puo' parlare di grado algebrico).

[antonio9992]

Gli oggetti di studio della fisica in realtà sono tutti composti da parti finite, dagli atomi, per esempio un tavolo anche se liscio microscopicamente non lo è, se volessi vedere come si deforma sotto l'azione delle forze la migliore approssimazione sarebbe considerare tanti corpi quanti sono gli atomi (meglio anche dei risultati analitici che impongono che sostituiscono il tavolo con un piano [e comunque esistono in realtà soluzioni ideali solo per travi e lastre vincolati puntualmente]), impossibile però nella pratica. Dove c'è un legame tra grandezze fisiche (fisica classica) si può applicare il metodo delle differenze finite semplicemente perché i corpuscoli obbediscono alle leggi, il corpo o fluido continuo è un approssimazione che fa ovviamente comodo.


Io volevo capire se esistono problemi differenziali risolvibili solo col metodo delle differenze finite, aventi come soluzione qualcosa di non schematizzabile con una combinazione di funzioni conosciute, ma con una forma tutta sua. (Come per esempio p greco che risulta un numero non scrivibile come combinazione di altri se non come somma di infiniti numeri, o così come le funzioni seno e coseno non sono scrivibili come combinazioni di altre funzioni se non come sviluppo in serie di Taylor e quando somma di infinite funzioni)

[gugo82]

Questo che tu chiami "succo" non ha senso: la soluzione di un'equazione differenziale è una funzione con certe proprietà. Quindi non ha senso chiedere se esista una soluzione che non sia una funzione.
Il fatto che un'equazione differenziale sia ""risolvibile"" con differenze finite non vuol dire niente se non esiste soluzione, e se applicandole il FDM ti esce qualcosa, è probabile che quella cosa non abbia a che fare con la soluzione del problema di partenza.

Ma perché esiste un metodo di risoluzione di problemi differenziali diverso dal metodo delle differenze finite quando il bordo è rettangolare?

Il FEM non è un metodo risolutivo, ma un metodo di approssimazione della soluzione (quando sai che esiste ed è unica) oppure un metodo per generare "qualcosa" che "assomigli" ad una soluzione (quando non hai teoremi di esistenza su cui appoggiarti).

I metodi risolutivi sono altra cosa, cioè quelle tecniche che ti consentono di dire che la soluzione esiste e (quando possibile) determinarla "esplicitamente".

• Ci sono metodi che consentono di trovare la soluzione mediante approssimazioni successive come, ad esempio, il metodo di Ritz, il metodo di Galerkin (per le PDE) oppure il classico metodo delle iterate di Picard o quello di approssimazione di Eulero (per le ODE). In questi casi, la soluzione del problema è individuata esplicitamente come il limite della successione approssimante (in un appropriato spazio di funzioni).
  
  
• Ci sono poi metodi basati sulla rappresentazione esplicita delle soluzioni, come ad esempio il metodo della separazione delle variabili (per PDE), il metodo della soluzione fondamentale o i metodi basati sulle trasformate (per PDE ed ODE). In questi casi, la soluzione è individuata esplicitamente o come somma di una serie di funzioni oppure come un integrale.
  
  
• O ancora, ci sono metodi che dimostrano l'esistenza della soluzione per via astratta, come i metodi del Calcolo delle Variazioni (per PDE ed ODE). Qui la soluzione è un elemento di un opportuno spazio di funzioni che gode (tipicamente) di certe proprietà di minimo.

E poi c'è altro ancora che non sto qua a dire.

[antonio9992]

Non so se hai letto e considerato il mio ultimo messaggio, mi sa che l'ho modificato dopo che tu hai risposto, dopo leggerò quello che hai scritto.

[gugo82]

Insomma, vuoi sapere se ci sono problemi (legati a PDE o ad ODE) che non si possono risolvere in termini elementari...

La risposta è: hai voglia!

Già se ti limiti alle ODE del secondo ordine, ad esempio, l'equazione di Bessel non ha soluzioni esprimibili in termini di funzioni elementari.


P.S.: Ho anch'io modificato il mio post precedente, rendendolo un po' meno criptico.

[pilloeffe]

Ciao antonio9992,

Potresti sempre unire l'utile (molto utile: $1.000.000... ) al dilettevole e cimentarti con queste:
http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation

[antonio9992]

Ho letto solo l'inizio per ora, comunque per il FEM non è necessario uno studio di esistenza ed unicità ed in generale della funzione che schematizza una caratteristica fisica, bisogna solo verificare che che per ogni causa la soluzione del FEM sia unica (se per esempio si considera il solito tavolo le cui parti si deformano seguendo leggi elastiche paraboliche o cubiche anziché lineari è ovvio che si sta commettendo un errore perché si stanno dando ad ogni sua parte relazioni causa-effetto univoche ed anche le inverse, effetto-causa sono univoche nel caso cubico, ma le relazioni causa-effetto_sul_sistema non lo sono, per una causa si hanno più effetti).

[antonio9992]

Ciao antonio9992,

Potresti sempre unire l'utile (molto utile: $1.000.000... ) al dilettevole e cimentarti con queste:
http://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation

Questo cercavo! Devo saperne di più.

[pilloeffe]

Beh, allo stesso link trovi anche la Official Problem Description by Charles L. Fefferman...

Personalmente mi sono letto la dimostrazione della congettura di Poincaré da parte di Grigorij Jakovlevič Perel'man (peraltro liberamente disponibile in Rete) e non mi vergogno di ammettere che non ci ho capito una beata minchia (cit. da Antonio Albanese) e a quanto pare sono in buona compagnia anche fra i matematici (tant'è vero che è stata redatta una "dispensa" di un migliaio di pagine per "spiegare" la dimostrazione di Grisha... )