Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda Tea-Rex » 24/05/2017, 13:53

Ciao a tutti!
Sono nuovo del forum anche se vi seguo da anni!
Ho un enorme problema: lo studio di funzione integrale degli esami di Analisi I della facoltà di Matematica e Fisica dela Università di Milano-Bicocca.
In tutti i libri che ho consultato e in tutti i siti internet che ho visitato, non ho trovato nulla di simile alla tipologia che viene proposta qui in Bicocca agli studenti di matematica e fisica. In questi giorni mi sto facendo aiutare da una tutor di matematica della Bicocca (laureata in Matematica), e nemmeno lei è in grado di risolvere questi esercizi!!
La domanda è: data la funzione integrale F(X) trovare: Dominio di F(X), limiti alla frontiera, eventuali asintoti, derivata prima, crescere e decrescere, eventuali estremanti e punti di non derivabilità, derivata seconda, eventuali flessi e convessità e disegnare il grafico. Conosco le procedure (so che per i limiti alla frontiera devo cercare il lim x->x0 F(x) con x0 punti estremi del domini, etc...).
Se fossero studi di funzione integrale "classici" non avrei troppi problemi, ma con questi, appena dopo che trovo il dominio, mi blocco e non riesco più a procedere!
Sono disperato! Anche perchè questo esercizio vale ben 1/3 dell'esame totale!
Ve ne posto un paio a titolo di esempio, qualcuno è in grado di risolverli e dirmi esattamente come si fanno? Non so più dove sbattere la testa!
Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Immagine

Help!!! :cry: :cry: :cry:
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda gugo82 » 24/05/2017, 15:47

C'è un'utile dispensina scritta da Camillo e magliocurioso, scaricabile da qui.
Dacci uno sguardo! :wink:
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda Tea-Rex » 24/05/2017, 16:00

gugo82 ha scritto:C'è un'utile dispensina scritta da Camillo e magliocurioso, scaricabile da qui.
Dacci uno sguardo! :wink:


Si, l'ho già letta tutta, ma anche se provo a seguire quella guida, non riesco a risolvere i lim x->x0 F(x).
Forse, più che il problema di fare lo studio di funzione integrale, il punto è risolvere gli integrali indefiniti di prima/seconda specie nei punti degli estremi del dominio di F(X). Sono integrali indefiniti che non si risolvono, ma non so come affrontarli.
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda gugo82 » 24/05/2017, 23:56

Guarda, la seconda è molto semplice.

Innanzitutto, osserva che l'integrando:
\[
f(x):=\frac{1}{x+1-\log |x|}
\]
è definito e continuo in $RR \setminus \{0,-1}$, nonché​ positivo in $]-1,0[UU ]0,+oo[$ e negativo in $]-oo,-1[$; inoltre esso si prolunga con continuità su $0$ ponendo$f(0)=0$, mentre in $-1$ è un infinito d'ordine $1$.
Ciò importa che la funzione integrale $F(x)$ è definita in \(\operatorname{Dom} F = ]-1,+\infty[\), ivi continua, derivabile, strettamente crescente; inoltre, $F$ è positiva in $]0,+oo[$, negativa in $]-1,0[$ e nulla in $0$.
Dato che:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = f^2(x)\ \frac{1-x}{x}
\]
la $F$ risulta convessa in $[0,1]$ e concava in $]-1,0]$ ed in $[1,+oo[$; i punti di ascisse $0$ ed $1$ sono flessi per il diagramma di $F$, il primo a tangente orizzontale, il secondo a tangente obliqua.
Infine, il diagramma di $F$ è dotato di asintoto verticale di equazione $x=-1$ (a destra, in basso) e non è dotato di asintoto né orizzontale né obliquo in $+oo$.

La prima si risolve in modo simile.
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda Tea-Rex » 25/05/2017, 17:44

Ti ringrazio perchè mi hai aiutato tantissimo laddove altre persone brancolavano nel buio più totale (laureati in matematica!). Senza di te sarei ancora totalmente perso!

Ho solo un paio di domande:

gugo82 ha scritto:Guarda, la seconda è molto semplice.
la $F$ risulta convessa in $[0,1]$ e concava in $]-1,0]$ ed in $[1,+oo[$; i punti di ascisse $0$ ed $1$ sono flessi per il diagramma di $F$, il primo a tangente orizzontale, il secondo a tangente obliqua.


Se faccio:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = 0
\]
Per cercare eventuali punti di flesso, trovo solo il punto 1, poichè ho $f^\prime (x)=0=>x-1=0$
Ma se ne studio il segno per capire la concavità e convessità, mi spunta fuori lo 0 esattamente come a te.
Dove sbaglio?
--
gugo82 ha scritto:Infine, il diagramma di $F$ è dotato di asintoto verticale di equazione $x=-1$ (a destra, in basso) e non è dotato di asintoto né orizzontale né obliquo in $+oo$.

Qui non capisco come hai fatto a dire che $F$ abbia asintoto verticale in $x=-1$ e come si possa affermare che non esista l'asintoto orizzontale.

P.s. ci sono programmi che mi graficano una funzione integrale?
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda Tea-Rex » 26/05/2017, 15:22

Ci ho provato e riprovato. Non riesco a capire come si possa affermare che ci sia un asintoto verticale in -1 e non ci siano asintoti orizzontali! Devo usare stime asintotiche o confronti? Queste cose mi stanno mandando ai matti :oops:
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda gugo82 » 26/05/2017, 16:43

Basta ragionare su quanto già trovato.
Dato che l'integrando è non negativo nel dominio della funzione integrale, la $F$ è monotona; pertanto il $lim_(x->-1^+) F(x)$ esiste. Dato che l'integrale improprio non converge, il limite deve essere $oo$; dato che $F$ è crescente, l'unica alternativa valida è $-oo$.

Per quanto riguarda gli asintoti, quello orizzontale non ci può essere perché $f(x)>=1/(x+1)$ intorno a $+oo$; quello obliquo perché $lim_(x->+oo) (F(x))/x =0$ per il teorema di de l'Hôpital.
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda Tea-Rex » 26/05/2017, 17:53

Okay, ho capito cosa devo osservare e come devo pensare, ancora grazie!
Solo una cosa "tecnica": come facciamo ad affermare che l'integrale improprio non converge?

P.s. hai scritto $lim_(x->-1^-) F(x)$. Intendevi forse $lim_(x->-1^+) F(x)$ e quindi il limite deve essere $+oo$?
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Re: Studio di Funzione integrale (Bicocca)

Messaggioda gugo82 » 26/05/2017, 19:42

Tea-Rex ha scritto:Solo una cosa "tecnica": come facciamo ad affermare che l'integrale improprio non converge?

Sì capisce da qui:
gugo82 ha scritto:[la $f$] in $-1$ è un infinito d'ordine $1$.



Tea-Rex ha scritto:P.s. hai scritto $lim_(x->-1^-) F(x)$. Intendevi forse $lim_(x->-1^+) F(x)$ e quindi il limite deve essere $+oo$?

Certo.
Ora correggo.
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