zio_mangrovia ha scritto:francicko ha scritto:a denominatore essendoci un prodotto, si possono usare gli a sintotici $sinx~~x$, ed $tanx~~x $
Tutto chiaro ma non capisco in base a quale criterio si possa fare queste sostituzioni $sinx~~x$, ed $tanx~~x $ anche se intuitivamente lo si capisce. Conosco il criterio asintotico ma per studiare il carattere delle serie, integrali, ...
Guarda, io l'equivalenza asintotica la spiegherei così. Prendi la funzione $f(t)$ dove è contenuta la funzione $g(x)$ che vuoi sostituire con un'altra funzione $h(x)$, per esempio
$f(t)=t/arcsin(t)$
$t=g(x)=sin(x)$
Se esegui lo sviluppo in serie di Taylor (anche al primo ordine che in sostanza corrispondono ai limiti notevoli) centrato in $x_0$ottieni una funzione $h(x)$ che in un intorno di $x_0$ si comporta come la funzione $g(x)$. Nell'esempio di prima prendo $x0=0$ e
$h(x)=x+o(x)=g(x)$
Considerando che g(x) e h(x) sono uguali in un intorno di $x_0$, quando faccio tendere il limite per $x_0$ posso benissimo scambiarli (sono uguali). Come spiegazione va bene secondo voi?
orsoulx ha scritto:Davvero?
Figata! Per caso possiedi una dimostrazione di questa cosa? Come risultato è veramente notevole!
Allora. Son convinto che moltiplicare/dividere per $ cos(x) $ un limite per $ x $ tendente a zero, non modifichi la natura del limite: se non esiste continuerà a non esistere, se esiste continuerà a tendere al medesimo valore. Se non fosse vero sarei molto contento perché avrei imparato una cosa nuova e te ne sarei molto grato.
Invece di pretendere una dimostrazione, posta un controesempio e avrai fatto un'opera buona.
Ciao
In tutta sincerità non mi vengono in mente contro-esempi, in effetti, però, non avrebbe senso che in caso di forme indeterminate i teoremi sui limiti non valgano più, infatti le forme indeterminate sono sì probablematiche, ma non tutto ciò che ci sta intorno. Probabilmente ero convinto che non fosse possibile tirare fuori un pezzo della funzione per il fatto che solitamente quando si spezzano limiti che presentano forme indeterminate, solitamente ci si ritrova con una forma indeterminata