Integrale gaussiano

[Nattramn16]

Ciao a tutti
Ho un piccolo problema nel capire come svolgere questo integrale ''gaussiano'' .
Il problema in realtà è di fisica quantistica: a un certo punto mi viene chiesto di calcolare il valore medio della funzione d'onda

dunque ecco il tutto

$ < x> = \sqrt(\lambda/\pi)int_(-infty)^(infty)xe^(-\lambda(x-a)^2) $

Ora... nel precedente punto mi era stato chiesto di calcolare questo integrale per trovare la costante A di normalizzazione della funzione d'onda e l'integrale era:
$ Aint_(-infty)^(infty)e^(-\lambda(x-a)^2)=1 $ l'integrale ho trovo che ha soluzione $ \sqrt(\pi/\lambda) $ (ovviamente già valutato agli estremi).


Tornando il mio integrale, pensavo di risolverlo per parti... considerando
$ f(x)=x $ , $ f'(x)=1 $ , $ g'(x)=e^(-\lambda(x-a)^2 $ e la sua primitiva $ g(x)=\sqrt(\pi/\lambda) $ Ma sarebbe già valutata...
L'integrale dovrebbe venirmi $ a $ come risultato.

Analogamente poi nel problema mi chiede di calcolare
$ <x^2> $ e l'integrale diventa analogo, solo che ha un $ x^2 $ anziché $ x $ : mi rimane comunque il problema di come integrare il pezzo maledetto.

Qualcuno potrebbe aiutarmi? Scusate, magari è una domanda stupidissima...
Grazie ^^

[pilloeffe]

Ciao Nattramn16,

Si tratta di integrali piuttosto standard.
Ad esempio, puoi dare un'occhiata qui:
http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

[Nattramn16]

Grazie, ora dò un'occhiata

[pilloeffe]

Ciao Nattramn16,

Ti riassumo i risultati principali.

\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{I_{n}(a) = \int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^2}dx =
\begin{cases}
\dfrac{(n - 1)!!}{2^{\frac{n}{2}+1}a^{\frac{n}{2}}}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}& \text{per $n$ pari}\\
& \hskip 3.0cm a > 0,\, n \in \mathbb{N}\\
\dfrac{[\frac{n - 1}{2}]!}{2a^{\frac{n + 1}{2}}}& \text{per $n$ dispari}
\end{cases}}
\end{equation} \)

I primi 10 valori sono i seguenti:

\( \displaystyle \begin{align}
I_{0}(a) & = \int_{0}^{+\infty}e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{1}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x\,e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a} \\
I_{2}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-ax^2}dx = \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{3}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{3}e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^2} \\
I_{4}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{4}e^{-ax^2}dx = \frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{5}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{5}e^{-ax^2}dx = \frac{1}{a^3} \\
I_{6}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{6}e^{-ax^2}dx = \frac{15}{16a^3}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{7}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{7}e^{-ax^2}dx = \frac{3}{a^4}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{8}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{8}e^{-ax^2}dx = \frac{105}{32a^4}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
I_{9}(a) & = \int_{0}^{+\infty}x^{9}e^{-ax^2}dx = \frac{12}{a^5}\sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align} \)

\( \displaystyle \begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}x^{n}e^{-ax^2}dx =
\begin{cases}
2 I_{n}(a) = \frac{(n -1)!!}{(2a)^{\frac{n}{2}}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}& \text{per $n$ pari}\\
& \hskip 3.0cm a > 0\\
0& \text{per $n$ dispari}
\end{cases}}
\end{equation} \)

I primi 6 valori per $n$ pari (per $n$ dispari sono tutti nulli) sono i seguenti:

\( \displaystyle \begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}dx & = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \label{intGauss:2I0(a)}\\
\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-ax^2}dx & = \frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
\int_{-\infty}^{+\infty}x^{4}e^{-ax^2}dx & = \frac{3}{4a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
\int_{-\infty}^{+\infty}x^{6}e^{-ax^2}dx & = \frac{15}{8a^3}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
\int_{-\infty}^{+\infty}x^{8}e^{-ax^2}dx & = \frac{105}{16a^4}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
\int_{-\infty}^{+\infty}x^{10}e^{-ax^2}dx & = \frac{945}{32a^5}\sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align} \)

[Nattramn16]

Ciao, grazie, ora guardo i risultati che mi hai scritto e vedo di capire come svolgere il mio...
Ho solo dato un'occhiata velocissima, ma non mi sembra di vedere il caso che mi serve
Ora guardo con più attenzione

[pilloeffe]

Fidati Nattramn16, sono quelli che ti servono... Non te lo dico per sentito dire, ma per esperienza diretta: negli esami di Radiotecnica e di Elettronica quantistica ne ho visti fino alla nausea...
Chiaramente ci si riconduce a tali integrali con opportune sostituzioni, ad esempio nel tuo caso $\sqrt(\lambda/\pi)int_(-\infty)^(+\infty)xe^(-\lambda(x-a)^2) dx$
conviene porre $t := sqrt{\lambda}(x - a) \implies x = frac{t}{sqrt{\lambda}} + a \implies dx = frac{dt}{sqrt{\lambda}}$, sicché si ha:

$\sqrt(\lambda/ \pi)int_(-\infty)^(+\infty)xe^(-\lambda(x-a)^2) dx = \sqrt(1/ \pi)int_(-infty)^(+\infty)(frac{t}{sqrt{\lambda}} + a)e^{-t^2} dt = \sqrt(frac{1}{\lambda \pi})int_(-infty)^(+\infty)t e^{-t^2} dt + a\sqrt(1/ \pi) int_(-infty)^(+\infty) e^{-t^2} dt $

Gli ultimi due integrali scritti sono proprio del tipo che ti ho riportato nel mio post precedente... Il primo dei due è nullo, il secondo è il consueto integrale di Gauss, per cui in definitiva si ha:

$\sqrt(\lambda/ \pi)int_(-\infty)^(+\infty)xe^(-\lambda(x-a)^2) dx = a$

[Nattramn16]

allora GRAZIE mille. Molto gentile davvero.