In primo luogo vorrei sapere come mai quando si risolve un limite con taylor si sviluppo fino all'ordine in cui il numeratore o il denominatore non si annullano. Qual è la motivazione?
In secondo luogo mi piacerebbe avere una dimostrazione del fatto che all'aumentare dell'ordine dello sviluppo l'approssimazione della funzione diventa sempre più precisa. Io ho provato a farlo, ma il risultato non è dei migliori. Ho per prima cosa dimostrato che il resto è un infinitesimo in $x_0$, infatti
$ lim x->x_0( (o((x-x_0)^n))/(x-x_0)^n)=0 $
quindi per un intorno $ I(x_0,\delta(\epsi))$ vale la seguente relazione
$ |(o((x-x_0)^n))|/|(x-x_0)^n| < \epsi $
portando il denominatore dall'altro lato (so che per certo che non si annulla)
$ |(o((x-x_0)^n))| < \epsi|(x-x_0)^n| $
adesso se maggioro $x$ a destra con $x=x_0+\delta(\epsi)$ ottengo
$ |(o((x-x_0)^n))| < \epsi|(\delta(\epsi))^n| $
considerando che tutto a destra dipende da epsilon, il secondo membro lo posso rendere piccolo a piacere, quindi $(o((x-x_0)^n))$ tende a $0$.
Bene, dimostrato che il resto in $x_0$ tende a 0, ossia che sia un infinitesimo in questo punto, sono sicuro che per ogni sviluppo $P(x_0)=f(x_0)$. Ora devo vedere come arrivare al fatto che maggiore è $n$, minore è il resto, quindi ho pensato che, essendo $o((x-x_0)^n)$ un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $o((x-x_0)^p)$ in $x_0$, con $n>p$, allora se prendo $\epsi = 1$, esisterà un intorno di $x_0$ in cui vale la seguente relazione
$ |(o((x-x_0)^n))| < |(o((x-x_0)^p))| $
quindi il resto con l'ordine più alto presenta in quell'intorno valori più piccoli, quindi approssima meglio la funzione, come ci si aspetta.
È lecito come ragionamento? Però mi sorge spontaneo un dubbio, infatti nella dimostrazione con Taylor dell'identità
$ e^(ix)=cos(x)+isin(x) $
Non viene posto che l'identità vale solo in un intorno di $0$, ma per qualsiasi $x$, quindi non mi torna la cosa
