Dubbio dimostrazione di di Cauchy-Lipschitz

Messaggioda feddy » 26/05/2017, 00:52

Buonasera (o buonanotte) a tutti,

stavo riguardandomi il teorema di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz, di cui ho la seguente versione:
Teorema di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz

Sia $f:[t_0-a,t_0+a]xx [x_0-R,x_0+R] \rarr RR$ una funzione continua, tale che soddisfi la condizione di Lipschitz, cioè $ EE $ $L>0$ tale che $|f(t,x_1)-f(t,x_2)|\leq|x_1-x_2|$ $forall t \in [t_0-a,t_0+a], forall x_1,x_2 \in [x_0-R,x_0+R] $.

Allora si può trovare un $\delta \in [0,a)$ tale che nell'intervallo $ [t_0-delta,t_0+delta]$ esiste una sola soluzione del problema di Cauchy. Inoltre la soluzione è unica, nel senso che se ne esistono due definite nello stesso intorno di $t_0$, allora esse coincidono.



Dimostrazione:

E' sufficiente cercare una soluzione dell'equazione integrale $x(t)=x_0+ int_{t_0}^{t} f(s,x(s))ds$.
Considerando la funzione $|f(t,x)|$ sul rettangolo compatto $[t_0 -a,t_0+a]xx [x_0-R,x_0+R]$ si ha che per Weierstrass essa ammette massimo assoluto, e chiamo tale massimo $M$.

Sia poi $delta=min{a,R/M,1/(2L)}$.

Definisco ora un'applicazione $T$ che ad ogni elemento dell'insieme $X={x \in C^0[t_0-delta,t_0+delta]: x(t) \in [x_0-R,x_0+R] forall t \in [t_0-delta,t_0+delta]}$ ne associa un'altro chiamato $(T(x))(t)=x_0 + int_{t_0}^{t} f(s,x(s))ds$.


Per ogni $x$ la $T$ è continua. Devo verificare che in realtà $T:X \rarr X$.
Per ogni $t \in [t_0 - delta,t_0+delta]: |T(x)(t)-x_0| \leq |int_{t_0}^{t} f(s,x(s))ds| \leq M delta \leq R$. $(1)$.

Da cui segue che $T:X\rarr X $.


Verifico poi che $T$ è una contrazione.

Pigliati due $x_1(t),x_2(t) \in X$.

$|T(x_1)(t) - T(x_2)(t)|= |int_(t_0)^(t) f(s,x_1(s))ds-f(s,x_2(s))ds|leq |int_(t_0)^(t) |f(s,x_1(s))ds-f(s,x_2(s))|ds \leq |int_(t_0)^(t) L|x_1(s)-x_2(s)|ds \leq L*delta*||x_1-x_2||_{\infty} $ $(*)$ $ \leq 1/2 ||x_1-x_2||_{\infty} $. $(2)$, $(3)$

Passando al sup per $t\in [t_0-delta,t_0+delta]:$, $||T(x_1)-T(x_2)||_{\infty} \leq 1/2||x_1-x_2||_{\infty}$.
Quindi $T:X\rarrX$ è una contrazione in $X$.

L'insieme $(X,||\cdot||_{\infty})$ è un sottoinsieme chiuso di $C^0([t_0-delta,t_0+delta])$: $X$ è dunque uno spazio metrico completo, e per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli $T$ ha un unico punto fisso ed è esattamente la soluzione dell'equazione integrale, e quindi del p.d.C.

$\square$




L'idea della dimostrazione mi è chiara, tuttavia ci sono alcuni passaggi (nelle due maggiorazioni che non ho ben chiare).

$(1)$: Mi è chiaro poichè $... \leq M*delta$. Poi però non capisco poiché $M delta \leq R$. So solo che $delta \leq R/M$ per la condizione di Lipschitz: ma non capisco perché.

$(2)$: Il passaggio poco chiaro è $(*)$. In sostanza $|x_1(s)-x_2(s)| \leq ||x_1-x_2||_{\infty}$ perché per definizione la metrica uniforme $||x_1(s)-x_2(s)||_{\infty}=s u p {|x_1(s)-x_2(s)|, s \in [t_0-delta,t_0+delta]}$. Credo sia per questo.

$(3)$ Quello che non mi è chiaro è il perché $L delta ||x_1(t)-x_2(t)||_{\infty} \leq 1/2 ||x_1(t)-x_2(t)||_{\infty}$. Intuisco che deve essere $delta =1/(2L)$, ma non mi è chiaro il motivo.



Spero di aver esposto i miei dubbi in modo chiaro. Grazie a chiunque vorrà darmi qualche delucidazione. :-D
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Re: Dubbio dimostrazione di di Cauchy-Lipschitz

Messaggioda Bremen000 » 27/05/2017, 09:13

Ciao, non so se ho capito bene comunque...

(1) Se $\delta = \min \{ a, R/M, 1/{2L} \}$ allora $\delta \le R/M$ e dunque $M\delta \le R$.

(2) $ ... \leq int_(t_0)^(t) L|x_1(s)-x_2(s)|ds \leq int_(t_0)^(t) L ||x_1-x_2||_{\infty}ds \leq L*delta*||x_1-x_2||_{\infty}$
e questo segue dal fatto che, come dici,
$||x_1-x_2||_{\infty} =||x_1-x_2||_{\mathcal{L}^{\infty}([t_0; t])} = \underset{ s \in [t_0; t]}{\text{sup }} |x_1(s)-x_2(s)| \ge |x_1(s)-x_2(s)| \quad \forall s \in [t_0; t]$

(3) Se $\delta = \min \{ a, R/M, 1/{2L} \}$ allora $\delta \le 1/{2L}$ e dunque $L \delta \le 1/2$.
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Re: Dubbio dimostrazione di di Cauchy-Lipschitz

Messaggioda feddy » 27/05/2017, 09:56

Innanzitutto grazie per la risposta

Bene, era la stessa che avevo immaginato per (1) e (3). Solo che in un momento di stanchezza non riuscivo a il perché della maggiorazione. Che sbadato !

In (2), giusto una curiosità: cosa intendi con ${\mathcal{L}^{\infty}([t_0; t]$? Se intendi la norma $L_{^\infty}$ (ammesso che esista...finora abbiamo visto solo $L^2$ :) )
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Re: Dubbio dimostrazione di di Cauchy-Lipschitz

Messaggioda Bremen000 » 27/05/2017, 12:01

Si sì intendevo la norma $\mathcal{L}^{\infty}$. L'ho scritto solo perché volevo evidenziare l'intervallo in cui si andava ad effettuare il sup senza scrivere sup eccetera (cosa che comunque poi ho fatto :D ).

Comunque per essere pignoli norma $\mathcal{L}^{\infty}$ e norma uniforme non sono la stessa cosa in generale (in questo caso si perché la funzione è continua in un intervallo limitato}, quindi ignora pure quella scrittura che può creare solo confusione.

Detta alla buona la norma $\mathcal{L}^{\infty}$ è il sup della funzione senza considerare i valori assunti da essa in insiemi di misura nulla. Su Wikipedia lo si trova spiegato abbastanza bene se no attendi analisi funzionale!
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