Insieme chiuso, compatto e limitato

[empirepos]

Ciao ragazzi! Ho dei dubbi riguardo un esercizio di un tema d'esame di Analisi 2. Il testo è: dato l'insieme
E: { \( log(x+y+3)/(x^2+y^2) \) } \( in R^2 \) stabilire quali affermazioni sono vere o false.

1) L'insieme è chiuso e limitato.
Per essere sia chiuso e limitato significa che sia compatto, qui non riesco a trovare un metodo analitico per risolvere. Esercizi in classe non ne abbiamo fatti e anche sul web mi sembrano strade troppo lunghe e complicate. C'è un modo per capire subito se è compatto (ad esempio graficamente o ragionando sul fatto che il logaritmo è sempre positivo come il denominatore)?

2) La frontiera di E è data dall'insieme \( (x+y+3) = 0 \) $uu$ \( (0,0) \)
Anche qui a livello teorico ho capito cosa sia la frontiera ma capire se questa funzione è frontiera di E no.

3) La chiusura di E è data dall'insieme \( (x+y+3) >= 0 \)
Idem come sopra, qui sembrerebbe che corrisponda al dominio della funzione (mi sbaglio?)

Grazie mille!

[@melia]

Spero di non essere troppo imprecisa, perché queste cose si perdono nella notte dei tempi, comunque... non posso essere più imprecisa del testo. L'insieme E non c'entra niente con $RR^2$, che sarà, eventualmente, il luogo dove cercarne il campo di esistenza, forse il testo corretto è $E={z=log(x+y+3)/(x^2+y^2), | (x,y) in RR^2}$
Fai attenzione a non confondere $E$ con il suo campo di esistenza, l'esercizio sembra fatto a posta per vedere se sei capace di distinguere correttamente le due cose
1) l'insieme non è limitato, il limite $lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ tende a $-oo$
e, secondo me, non è neanche chiuso, ma non lo so dimostrare, non mi viene in mente un punto per un controesempio.
2) quella indicata non è la frontiera di E, ma quella del suo campo di esistenza

3) anche qui, quella indicata non è la chiusura di $E$, ma quella del suo campo di esistenza

[Bremen000]

Se l'insieme è effettivamente

$$E:= \Biggl \{z\in \mathbb{R} : z=\frac{log(x+y+3)}{x^2+y^2}, (x,y) \in D \Biggr \}$$

con

$$ D:= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 >0 \wedge (x,y) \ne (0,0) \}$$

Poiché

$lim_((x,y)->(0, -3)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = -\infty$ e $lim_((x,y)->(0, 0)) (log(x+y+3)/(x^2+y^2)) = +\infty$

e $(log(x+y+3)/(x^2+y^2))$ è continua ove definita, direi che $E= \mathbb{R}$ e dunque è chiuso e ovviamente la sua chiusura è se stesso.

[empirepos]

Grazie per le risposte! Vi mando il link con il testo della prova e relativa correzione del professore almeno potete vedere pure voi, ci sto ragionando sopra ma non trovo una soluzione... https://ibb.co/koUfDF

[@melia]

Il testo della prova è MOLTO diverso da quello che hai postato tu. E noi abbiamo risposto su quello da te postato.

[Bremen000]

In effetti non si capiva nulla da quello che hai scritto.... cosa non ti torna della soluzione?

[empirepos]

Scusatemi molto! Ho provato un po' a scrivere usando le formule matematiche ma ho fatto un po' fatica e sono riuscito a scrivere solo quello
Comunque i miei dubbi sono gli stessi di prima, ciò che ho scritto per i vari punti vale ancora.. Ci sono più esercizi di questa tipologia e non riesco a trasportare le nozioni teoriche nella pratica...

[Bremen000]

1) L'insieme è chiuso e non limitato: Che sia non limitato è evidente. Per il fatto che sia chiuso o meno: il suo complementare è

$A=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y+3 \le 0 \} \cup (0,0) $

Che è evidentemente un insieme non aperto, infatti un qualsiasi intorno di $(0,0)$ non è contenuto in $A$. Siccome il suo complementare non è aperto, allora non può essere chiuso. La 1) è quindi falsa.

2) La frontiera dell'insieme è data da $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3=0 \} \cup (0,0)$: questi sono proprio i punti che non sono né interni né esterni all'insieme e dunque sono di frontiera. (Intuitivamente sono il bordo dell'insieme, prova a fare un disegno).

3)La chiusura dell'insieme è data da $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y+3 \ge 0 \}$: vero perché è l'unione dell'insieme e della sua frontiera.