Ciao, non capisco se ho fatto un ragionamento sbagliato.
(Ho messo tutti i passaggi per completezza, alcuni anche superflui per facilitarne la "lettura".. mi scuso per la lunghezza)
Allora data $f_n (x)= e^(-x^2 / n^2) , n>=1$ devo calcolare se la successione converge uniformemente su $\Lambda$ e su $[-a,a], a>0$.
Io ho fatto così:
$ Lambda ={x in D: lim_{n->infty} f_n(x) ∃ "finito"}={x in \mathbb {R} : lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2) ∃ "finito" } $
$ lim_{n->infty} e^(-x^2/n^2)=1 $
allora concludo che $Lambda=\mathbb {R}$ e la funzione limite è $f(x)=1$.
Ora studio la convergenza uniforme su $Lambda$, cioè verifico se è vero ciò:
$ lim_{n->infty} ||f_n(x)-f(x)||_{infty,Lambda}=lim_{n->infty} "sup"_{x in Lambda}|f_n(x)-f(x)|= 0 $
$ |f_n(x)-f(x)|= |e^(-x^2/n^2)-1|={ ( e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2) -1<0) :} $
Studio le due disequazioni:
$1)$
$ e^(-x^2/n^2 )-1 " se " e^(-x^2/n^2) -1>=0 $
$ e^(-x^2/n^2 )>=1 $
$ -x^2/n^2 >=0 $
Essendo n sempre positivo allora: $ -x^2>=0 $ ; $ x^2<=0 $ cioè \( \Longleftrightarrow x=0 \)
$2)$
$ -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " e^(-x^2/n^2 )-1<0 $
$ e^(-x^2/n^2) -1<0 $
$ -x^2/n^2 <0 $ cioè $ -x^2<0 $; $ x^2>0 $ cioè se $ x!=0 $
Ricapitolando allora:
$ |f_n(x)-f(x)|={ (e^(-x^2/n^2 )-1 " se " x=0 ),( -e^(-x^2/n^2 )+1 " se " x!=0) :} $
Ora finalmente posso procedere a controllare la convergenza:
Dubbio: posso dividere i due casi? Io l'ho fatto proprio così!
se $x=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x=0)" "e^(-x^2/n^2) -1= lim_{n->infty} 0=0 $
Quindi ho convergenza uniforme nel punto x=0.
[b]Dubbio[b]: Posso fare la convergenza uniforme per un solo punto? Non era più sensato fare la puntuale? Ma se avessi fatto la puntuale, qualcosa non sarebbe andato dato che la convergenza puntuale non implica quella convergente..
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x!=0, x in Lambda)" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} 1!=0 $
Non ho convergenza uniforme..
In conclusione, non c'è convergenza uniforme su $Lambda$.
Convergenza su $[-a,a], a>0$:
se $x=0$: Come prima ho convergenza uniforme
se $x!=0$:
$ lim_{n->infty}"sup"_{x in [-a,a])" "1-e^(-x^2/n^2) = lim_{n->infty} (1-e^(-x^2/n^2))_(x=a)= lim_{n->infty} 1-e^(-a^2/n^2)=0 $
Allora su $[-a,a], a >0$ ho convergenza uniforme.
Dalle soluzioni del libro ho visto che i risultati sono giusti ma non c'è il procedimento..
Ho sbagliato qualcosa? I miei dubbi sono sensati?
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza!!