Polinomio in più variabili reali - Dimostrazione della CONTINUITA'

[Caso-Statistico]

Buongiorno a tutti.

Come da titolo, vorrei qualche consiglio su come dimostrare in maniera rigorosa la continuità di un polinomio generico di grado n.

Ad esempio, il polinomio omogeneo $ p(x,y)=x^3-3xy^2 $

Voglio dimostrare la continuità per $ (x,y)rarr (X,Y) $
(scusate, ma non capisco come inserire il canonico 0 a pedice)

La prima strategia sarà l'uso delle coordinate polari $ { ( x=X+rhocostheta ),( y=Y+rhosintheta ):} $

e maggiorare $ |p(X+rhocostheta,Y+rhosintheta)-p(X,Y)|<=g(rho) $

dove $ g(rho)rarr 0 $ quando $ rho rarr 0 $

Qualsiasi sia il punto (X,Y) considerato, e qualsiasi sia il polinomio in esame, all'interno del valore assoluto otteniamo SEMPRE una somma di addendi

tutti nella forma $ +- rho^k X^p Y^q (costheta)^h (sintheta)^t $ con $ k>=1 , h>=0 , t>=0 , p>=0 , q>=0 $

prima maggiorazione $ <=sum |+- rho^k X^p Y^q (costheta)^h (sintheta)^t| $

seconda maggiorazione $ <=sum |rho^k X^p Y^q (costheta)^h (sintheta)^t| $

infine $ <=sum rho^k |X^p Y^q| $

$ g(rho)=sum rho^k |X^p Y^q| $ è un polinomio in una sola variabile, senza termine noto, infinitesimo rispetto la variabile stessa.
CVD

Questa dimostrazione è corretta ed abbastanza rigorosa?
Grazie mille in anticipo per la vostra attenzione.

[Fioravante Patrone]

Che le funzioni polinomiali (in $n$ variabili) siano continue è una semplice applicazione di:
- le funzioni costanti sono continue
- la proiezione sullo $i$-esimo asse coordinato è una funzione continua (è lipschitziana...)
- i teoremi su somma e prodotto di funzioni continue

Che poi tu voglia fare una dimostrazione diretta, liberissimo. Ma la strada diventa un po' più complicata. E, tanto, sotto sotto stai dimostrando le tre cose sopra elencate

[Caso-Statistico]

Grazie per la risposta.

Sì, so che è più comodo vedere la continuità come conseguenza dei risultati noti sulle funzioni ''elementari'' e dell'algebra dei limiti, ma mi sono imbattuto in un esercizietto che dimostrava la continuità di

$ f(x)=Ax^2+Bx+C $

usando la definizione standard, facendo quindi i calcoli per $ epsilon $ e $ delta $

ed ho pensato di fare una cosa del genere per un polinomio in due variabili.
In quest'ottica, anche se ''inutilmente complicata'', mi sembra che la suddetta dimostrazione sia corretta.

Giusto?

[Fioravante Patrone]

ok, de gustibus...

...
Voglio dimostrare la continuità per $ (x,y)rarr (X,Y) $
(scusate, ma non capisco come inserire il canonico 0 a pedice)
...

Codice:

$x_0$

$x_0$

...
Qualsiasi sia il punto (X,Y) considerato, e qualsiasi sia il polinomio in esame, all'interno del valore assoluto otteniamo SEMPRE una somma di addendi

tutti nella forma $ +- rho^k X^p Y^q (costheta)^h (sintheta)^t $ con $ k>=1 , h>=0 , t>=0 , p>=0 , q>=0 $
...

Di questa affermazione ti chiederei una dimostrazione

[Caso-Statistico]

Scusate il ritardo.

Fissato il punto $ (x_0,y_0) $

considero il generico addendo $ Ax^hy^k $ del polinomio in due variabili

considero la differenza $ | A(x_0+alpha )^h (y_0+beta )^k - Ax_0^hy_0^k | $

Tralasciando per semplicità il valore assoluto, sviluppo dei binomi

$ A(x_0^h + ... +( (h), (i) )x_0^(h-i)alpha ^i+...+alpha^h)(y_0^k+...+( (k), (j) )y_0^(k-j)beta ^j+...+beta^k) $

ovvero $ Ax_0^h y_0^k + ... +A( (h), (i) )x_0^(h-i)alpha ^i( (k), (j) )y_0^(k-j)beta ^j+... $ ovviamente al variare delle coppie di indici $ i,j $

il primo addendo si elimina, rimane la somma di tutti gli addendi nella forma $ A( (h), (i) )x_0^(h-i)alpha ^i( (k), (j) )y_0^(k-j)beta ^j $

essendo il punto fissato, al variare degli indici considero COSTANTI le quantità $ A_i=( (h), (i) )x_0^(h-i) $ e $ B_j=( (k), (j) )y_0^(k-j) $

posto poi $ { ( alpha=rho cos(theta) ),( beta=rho sin(theta) ):} $

gli addendi di cui sopra diventano funzioni di $ rho, theta $ nella forma $ A_iB_jrho^(i+j)cos(theta)^isin(theta)^j $

come avevamo detto nel vecchissimo, precedente messaggio - al netto dei coefficienti costanti.