Integrale triplo dominio toroidale

[dfabrici]

Buongiorno a tutti, sono un nuovo utente e mi stavo dilettando con un esercizio tratto da un tema d'esame di Analisi 2, e la consegna è questa:
Sia T il toro generato dalla rotazione attorno all'asse z del disco D del piano $y=0$ definito da $(x-2)^2+z^2<=1$, ovvero un disco di raggio 1 con centro in $(2,0,0)$.
Calcolare $ I= int_(T)^() z^2 dxdydz $ .

Ho ragionato così, anche vedendo esercizi simili. Innanzitutto mi trovo una parametrizzazione dello spazio in coordinate cilindriche, pongo quindi $ { ( x=rhocosvartheta ),( y=rhosinvartheta ),( z=z ):} $. Il toro che mi si genera avrà coordinata z che varierà tra -1 e 1, trovo una condizione sul raggio $rho$ sostituendo nell'equazione del disco le nuove x, y cilindriche.$cosvartheta$ lo pongo =1 per comodità visto che il raggio non varia col variare dell'angolo di rotazione.
I piani con z=costante quindi mi taglieranno il toro in delle corone circolari aventi raggio appena trovato, che mi risulta $ 2-sqrt(1+z^2)<= rho <= 2+sqrt(1+z^2) $, rispettivamente raggio interno e raggio esterno.

Ora riscrivo il dominio di integrazione come $ T={(rho,theta,z)|-1<=z<=1,2-sqrt(1+z^2)<= rho <= 2+sqrt(1+z^2), 0<=theta<=2pi } $

Imposto ora l'integrale triplo $ int_(0)^(2pi)d theta int_(-1)^(1)z^2int_(2-sqrt(1+z^2))^(2+sqrt(1+z^2))rho d rho dz $
L'integrale in $d rho$ risulta uguale a $4sqrt(1-z^2)$.
Quindi poi mi troverei a svolgere l'integrale $ 4piint_(-1)^(1)z^2sqrt(1-z^2 dz $
Qui nascono i problemi, innanzitutto non sarei mai riuscito a trovare il modo di svolgerlo, ho provato con Wolfram, risulta uguale a $pi^2$.
Volevo sapere come muovermi per riuscire a risolvere un integrale del genere, e soprattutto se si può svolgere l'esercizio in qualche altro modo, in quanto la prof che ha dato questo esame solitamente non richiede integrali così involuti nelle risoluzioni degli esercizi, mentre è una persona che ama trucchetti algebrici o anche solo di ragionamento, per giungere alla soluzione.

Grazie a tutti in anticipo, spero di non aver toppato nulla di troppo grosso.
Un saluto,
Davide