Soluzioni differenziale

[Gando89]

Buongiorno a tutti.
Avrei un dubbio riguardante la tipologia di soluzioni di un'equazione differenziale di Eulero

$t^2*y''+5*t*y+3*y=t^(-1)$

Vista la forma dovremmo appunto essere in Eulero e trovando le soluzioni del polinomio caratteristico ottengo:

$\lamda_1 = -3$
$\lambda_2 =-1$

Come soluzione omogenea dovrei avere

$y_(omo) = C_1*t^(\lambda1)+ C_2*t^(\lambda_2)$

essendo le soluzioni del polinomio caratteristico reali e distinte.

Come soluzione particolare invece, essendo che $\eta = 0$ non è tra le soluzione del polinomio, dovrei avere

$y_(part) = Q(t)*ln(t)$.

Ho individuato $\eta = 0$ considerando la soluzione dell'equazione = $e^(0)*t^(-1)$
Ho il dubbio vedendo l'esercizio risolto che in questo caso quindi l'esponente da prendere in considerazione non sia quello di $e$ ma quello di $t$, ripeto, guardando la risoluzione dell'esercizio, mentre io avrei considerato quello di $e$, perciò $0$.

Come soluzioni particolari ad Eulero ho trovato su internet queste casistiche che non so se ho ben interpretato a questo punto:

1) $\eta$ non è soluzione del P.C. --> $y_p = A*t^(\eta)$

2) $\eta$ appartiene ad $R$ ed è soluzione del P.C. --> $y_p = A*t^(\eta)*[ln(t)]^(k)$ con $k$ molteplicità soluzione del P.C

3) $\eta = 0$ è soluzione del P.C. --> $y_p = [ln(t)]^(k)*Q(t)*ln(t)$

4) $eta = 0$ NON è soluzione del P.C. --> $y_p = Q(t)*ln(t)$

con $Q(t)$ polinomio dello stesso grado di $t$della soluzione.

Quindi ho individuato il mio caso nell'ultima situazione.
Nell'esercizio risolto però ho come soluzioni $\eta = -1$, cioè quello che dovrebbe essere l'esponente della soluzione della differenziale.
Come soluzione particolare ho infatti, seguendo questo ragionamento il caso n°2, cioè

$y_p = A*t^(\eta)*[ln(t)]^(k)$, con molteplicità 1 in questo caso.

Vorrei quindi capire come devo comportarmi in situazioni analoghe e soprattutto se sto sbagliando io od è sbagliata la soluzione dell'esercizio.
Informazioni e suggerimenti ulteriori sono ovviamente più che ben accetti.

Vi ringrazio molto in anticipo