Esercizio integrale

\(\displaystyle \int e^{\sqrt [3]{x}} dx\)

Penso che si debba risolvere prima per sostituzione quindi per parti,
Se sostituisco l'esponente con t ottengo
\(\displaystyle \int e^t dt\)
Da qui, che èuguale al punto di partenza non so procedere ? Sapete spiegarmi come andare avanti ?

Ma se poni che $t=x^(1/3)$

Avrai che $dt=1/(3x^(2/3))dx$

Ciao Raffa85,

Con la sostituzione che hai già pensato, si ha:

$\int e^{root[3]{x}} dx = 3\int t^2 e^t dt $

Integrando 2 volte per parti l'ultimo integrale in modo da abbassare il grado di $t$, si ha:

$\int t^2 e^t dt = e^t(t^2 - 2t + 2) + c $

A questo punto, ricordandoci del fattore $3$ e che $t := root[3]{x}$, in definitiva si ottiene:

$\int e^{root[3]{x}} dx = 3 e^{root[3]{x}}(x^{2/3} - 2 root[3]{x} + 2) + c $

Ciao Raffa85,

Con la sostituzione che hai già pensato, si ha:

$\int e^{root[3]{x}} dx = 3\int t^2 e^t dt $

Integrando 2 volte per parti l'ultimo integrale in modo da abbassare il grado di $t$, si ha:

$\int t^2 e^t dt = e^t(t^2 - 2t + 2) + c $

A questo punto, ricordandoci del fattore $3$ e che $t := root[3]{x}$, in definitiva si ottiene:

$\int e^{root[3]{x}} dx = 3 e^{root[3]{x}}(x^{2/3} - 2 root[3]{x} + 2) + c $

scusa non ho capito perche quando sostituisci moltiplichi fuori per 3 e dentro per t^2

Beh, basta che dai un'occhiata a quello che ha scritto giustamente Anacleto13:

$dt=1/(3x^(2/3))dx \implies dx = 3 x^{2/3} dt$

e siccome $t = x^{1/3} \implies x^{2/3} = t^2 \implies dx = 3t^2 dt$