Serie numerica

[Albirz]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano in questo esercizio che chiede di stabilire se la serie numerica data converga, diverga o sia indeterminata.

$$ arctan(cos(n))^n $$

Probabilmente è facile, ma fallisco sia con ogni criterio che conosco. Ho anche pensato che fosse indeterminata ma non riuscirei a provarlo perciò mi affido a voi. Grazie.

[otta96]

se \(L> 1\) la serie diverge.

In realtà non è vero, funziona se si prende il liminf.

[anto_zoolander]

io ricordo che

Sia $(a_n)$ una successione a termini definitivamente positivi, allora:

Se $existslin[0,1):lim(root(n)(a_n))=l$ allora $sum_(n=0)^(infty)a_n$ converge

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la condizione necessaria è soddisfatta poichè per com'è noto $a_n->0$

se $lin(0,1)$ allora $forallepsilon>0existsn_0 inNN: |root(n)(a_n)-l|<epsilon,foralln>n_0$

Dunque $l-epsilon<root(n)(a_n)<l+epsilon,foralln>n_0$ Posto $l+epsilon:=q<1$

Si ha che $existsn_0 inNN: 0<a_n<q^n,foralln>n_0$

Per tanto $0leqsum_(n=n_0+1)^(infty)a_nleqsum_(n=n_0+1)^(infty)q^n$

Dunque quella serie converge e poiché cambiare un numero finito di termini non altera il carattere della serie, allora $sum_(n=0)^(infty)a_n$ converge

Allo stesso modo se $exists l in(1,+infty):lim(root(n)(a_n))=l$ allora diverge

[otta96]

Ci ho ripensato e mi sono accorto di aver fatto un errore madornale, scusatemi. é proprio vero quello che ha detto TeM, io mi sono confuso col criterio della radice per SUCCESSIONI, ma qui si sta parlando di SERIE.
Scusatemi di nuovo e ignorate quello che ho detto.

[pilloeffe]

Ciao a tutti,

Attenzione perché la serie iniziale proposta da Albirz è

a) $sum_{n = 1}^{+\infty} arctan(cos(n))^n $

che è ben diversa da

b) $sum_{n = 1}^{+\infty} (arctan(cos(n))^n $

citata da TeM:

A te applicare tali criteri alla serie numerica $sum_{n = 1}^{+\infty} (arctan(cos(n))^n $

Infatti si può dimostrare che la serie a) è divergente, così come è divergente la serie $ sum_{n = 1}^{+\infty} (cos(n))^n $, perché il termine generale non tende a $0$ (ma non è banale dimostrarlo...), mentre invece la b) converge, infatti $ arctan(cos(n)) \in [-pi/4, pi/4] $, per cui si può scrivere:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} |arctan(cos(n))|^n \le sum_{n = 1}^{+\infty}(pi/4)^n $

e l'ultima è una serie geometrica di ragione $frac{\pi}{4} < 1 $ e pertanto convergente.

Dunque, per il criterio del confronto, la serie b) converge assolutamente e quindi è convergente.

[pilloeffe]

Formalmente le due scritture sono identiche, per verificarlo è sufficiente scriverle in Wolfram Mathematica: [...] e lo stesso vale in Wolfram|Alpha:

L'avevo notato anch'io (su WolframAlpha, Wolfram Mathematica non ce l'ho... ), ma non concordo sulle tue conclusioni: le scritture de facto non sono identiche, non foss'altro per il fatto che le due serie hanno comportamento ben differente (divergente la a), convergente la b)). Tenderei invece a concludere per un bug del software che magari segnalo a Stephen Wolfram: non è il primo, ne abbiamo già trovato un altro nel corso di una discussione con francicko qui che pare ancora non risolto (infatti non mi è stata ancora data risposta alla segnalazione che avevo inviato a suo tempo). Magari se prima o poi ci riconoscono qualcosa, lo faccio devolvere in favore di matematicamente.it...

io ho scelto la seconda scrittura proprio per fugare dubbi di questo tipo!

Qui invece concordo sulla tua scelta, perché ritengo estremamente più probabile che Albirz, pur avendo scritto la a), in realtà intendesse la b)...

[otta96]

Comunque la dimostrazione del Rudin del punto b) mi sembra un po' frettolosa, lui ha dimostrato che non converge, ma come salta alla conclusione che diverge? Non mi sembra stia assumendo che la serie sia a termini positivi...

[pilloeffe]

bug del software che magari segnalo a Stephen Wolfram

Fatto. Sono curioso di vedere cosa mi rispondono, se mi rispondono...

Note
In Microsoft Excel, scrivendo sia =ARCTAN(COS(0))^0 che =(ARCTAN(COS(0)))^0 si ottiene 1, invece scrivendo =ARCTAN(COS(0)^0) si ottiene 0.785398, vuoi che sia presente lo stesso bug? Mi sembra altamente improbabile!

Cosa vuoi che ti dica, hai ragione, ma per me è concettualmente sbagliato: da una parte l'elevamento a $n$ è sull'argomento della funzione $arctan $, dall'altra invece è sull'intera funzione $arctan $. Ritengo che dovrebbe essere così:
ARCTAN(COS(0))^0 = ARCTAN((COS(0))^0) = ARCTAN(COS(0)^0) = 0.785398
(ARCTAN(COS(0)))^0 = 1

[pilloeffe]

Però, per par condicio, dovresti scrivere anche agli sviluppatori di Microsoft Excel

Giusto! Fatto anche questo: mi aspetto però che mi rispondano ancora meno di quelli del Team di Wolfram | Alpha, dei quali almeno dispongo di un indirizzo diretto...
Comunque, resto dell'idea espressa col mio primo post sulla questione. Per quanto riguarda i software invece sono pronto a tutto: bug, non bug perché convenzione ed anche, ovviamente, nessuna risposta... Se qualcuno mi risponde però prometto di far sapere "il verdetto"

[otta96]

Comunque ci ho ripensato a quella cosa del punto b) del Rudin, e mi è venuta in mente una cosa, se considero la serie associata alla successione $(-2)^n$, siamo tutti d'accordo che soddisfa le ipotesi del punto b)(\alpha=2>1), ma non la tesi? (cioè b) è falsa)
La ridotta si può scrivere come $(1-(-2)^(n+1))/3$, che è indeterminata. Che fosse sintetico lo sapevo anche io, ma pensavo almeno che dicesse cose vere.