Classificazione punti di stazionarietà

[abaco90]

Ciao a tutti, devo trovare i punti di stazionarietà di questa funzione a due variabili $ f(x,y) = x^3 + y^3 + 1 $, ho trovato un punto di stazionarietà che è in (0,0) e la matrice Hessiana data da $ fxx = 6x $, $ fyy = 6y $, $ fxy = 0 $, $ fyx = 0 $.
Per determinare il tipo di punto stazionario devo verificare che il determinante della matrice sia > 0.
Quindi riscrivo la matrice con x = 0 e y = 0 e ottengo la matrice nulla. Come faccio a capire di che punto si tratta?

[pilloeffe]

Ciao abaco90,

$36xy > 0 $ se $x$ e $y$ sono concordi, cioè se $x > 0$ e $y > 0$ (I quadrante) oppure se $x < 0 $ e $y < 0$ (III quadrante)...

[abaco90]

Ciao grazie della risposta, ma come faccio a capire se x e y sono concordi?
Comunque ho modificato la domanda in quanto ho provato a procedere diversamente, sai dirmi se è corretto e magari come andare avanti?

[pilloeffe]

Per avere un'idea di com'è fatta la funzione $z = f(x, y) = x^3 + y^3 + 1 $, a parte l'uso di software in grado di tracciare grafici tridimensionali, prova a considerarne delle sezioni, ad esempio la sezione che si ottiene per $y = 0: z = x^3 + 1 $ (cubica che interseca l''asse $z$ in $z = 1$).

[abaco90]

Scusa ma non ho capito molto, non c'è un metodo algebrico?

[pilloeffe]

Sì, ad esempio il metodo delle rette: si scrive l'equazione del fascio di rette $y - y_0 = m (x - x_0) \implies y = y_0 + m(x - x_0)$ (che nel tuo caso diventa semplicemente $y = mx$).

Se si restringe la funzione lungo una retta passante per il punto $(x_0, y_0)$ e la restrizione lungo tale retta ha in $x_0$ un punto che non è estremante (esempio: $f(x) = x^3$ in $x = 0$), allora $(x_0, y_0)$ è un punto di sella per $z = f(x, y)$.
Se si trovano due rette per le quali le restrizioni della funzione presentano punti estremanti di nature diverse (da una parte un minimo, dall'altra un massimo) allora $(x_0, y_0)$ è un punto di sella per $z=f(x,y)$.

Oppure col metodo del segno:

Sia $f(x_0, y_0) = c $
(che nel tuo caso diventa $f(0, 0) = 1$)
Se si considera una nuova funzione $\bar{f}(x, y) := f(x, y) - c$, $\bar f $ ha Hessiano nullo in $(x_0, y_0)$ e si ha $\bar{f} (x_0, y_0) = 0$, infatti:

$ \bar{f} (x_0, y_0) := f(x_0, y_0) - c = c - c = 0 $

L'idea del metodo del segno è semplice:
1) Se esiste almeno un intorno del punto $(x_0, y_0)$ in cui $\bar{f}$ è negativa in ogni punto $(x, y) \ne (x_0, y_0)$, allora $(x_0, y_0)$ è un punto di massimo relativo per $\bar{f}$ e per $f$.
2) Se esiste almeno un intorno del punto $(x_0, y_0)$ in cui $\bar{f}$ è positiva in ogni punto $(x, y) \ne (x_0, y_0)$, allora $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo relativo per $\bar{f}$ e per $f$.
3) Se in ogni intorno del punto $(x_0, y_0)$ la funzione $\bar{f}$ assume sia valori di segno positivo che valori di segno negativo, allora $(x_0, y_0)$ è un punto di sella per $\bar{f}$ e per $f$.

[abaco90]

Grazie!