Integrale doppio con valore assoluto

[Vicia]

Buonasera ragazzi, ho un dubbio sul dominio di integrazione.
$\int int |x^2-y^2|dxdy$
su $D={(x,y) in RR^2 : 0<=y<=1 , y^2<=x<=y}$
Avendo il valore assoluto, ho deciso di dividere l'integrale nella somma di due integrali calcolati sui domini $D_1 D_2$
$|x^2-y^2|=\{(x^2-y^2 => x^2>=y^2),(y^2-x^2 => x^2<=y^2):}$
Il problema però è come trovare i due domini, $D_1,D_2$

[singularity]

Aggiungi una volta la condizione:

$x^2 >= y^2 $

E questo è un pezzo, poi prendi di nuovo $D$ e aggiungi la condizione:

$x^2 <= y^2 $

E questo è un altro pezzo, poi risolvi le disequazioni.

[Vicia]

In che senso poi risolvo le disequazioni? Devo mettere a sistema le disequazioni del dominio iniziale?

[Ziben]

Ciao,
non so se può andare bene, scrivo come ho fatto io in modo da essere corretto, in caso di errore.
Disegno il dominio $D$ così noto che è la parte limitata di piano compresa tra la retta $y=x$ e la parabola $x=y^2$ nel 1° quadrante.
Studio il segno di $x^2-y^2$:

$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) >0$ quando $x-y>0$ e $x+y>0$ (oppure entrambi negativi). Dalla prima ricavo $y<x$ (che è la parte di piano "sotto" la retta $y=x$) e dalla seconda ricavo $y>-x$ (che è la parte di piano "sopra" la retta $y=-x$).

Pertanto $x^2-y^2$ risulta positivo nell'insieme $T$ costituito dalle parti di piano comprese tra le rette $y=x$ e $y=-x$ attraversate dall'asse delle ascisse.

Il dominio $D$ ha come intersezione con $T$ il segmento che giace sulla retta $y=x$ di estremi $(0,0)$ e $(1,1)$ dove $x^2-y^2$ è nullo mentre sulla restante parte di $D$ risulta negativo. Perciò l'integrale diventa:

$int_D(y^2-x^2)dxdy = int_0^1int_(y^2)^y(y^2-x^2)dxdy$

Mi scuso per la mancanza di rigore

[singularity]

Ciao,
non so se può andare bene [...]

Mi sembra tutto corretto.

[Vicia]

Grazie @Ziben!

[Ziben]

@singularity
Grazie per la conferma.

@Vicia
prego, di nulla