da Ziben » 19/07/2017, 16:11
Ciao,
non so se può andare bene, scrivo come ho fatto io in modo da essere corretto, in caso di errore.
Disegno il dominio $D$ così noto che è la parte limitata di piano compresa tra la retta $y=x$ e la parabola $x=y^2$ nel 1° quadrante.
Studio il segno di $x^2-y^2$:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) >0$ quando $x-y>0$ e $x+y>0$ (oppure entrambi negativi). Dalla prima ricavo $y<x$ (che è la parte di piano "sotto" la retta $y=x$) e dalla seconda ricavo $y>-x$ (che è la parte di piano "sopra" la retta $y=-x$).
Pertanto $x^2-y^2$ risulta positivo nell'insieme $T$ costituito dalle parti di piano comprese tra le rette $y=x$ e $y=-x$ attraversate dall'asse delle ascisse.
Il dominio $D$ ha come intersezione con $T$ il segmento che giace sulla retta $y=x$ di estremi $(0,0)$ e $(1,1)$ dove $x^2-y^2$ è nullo mentre sulla restante parte di $D$ risulta negativo. Perciò l'integrale diventa:
$int_D(y^2-x^2)dxdy = int_0^1int_(y^2)^y(y^2-x^2)dxdy$
Mi scuso per la mancanza di rigore