Ciao ludovica97,
Occhio che il tuo procedimento è errato già dal primo passaggio...
Assodato che $z = 0$ è senz'altro una soluzione, prova a considerare che
$z = x + iy $
$\bar{z} = x - iy $
$z\bar{z} = |z|^2 \implies bar{z} = frac{|z|^2}{z} \implies bar{z}^4 = frac{|z|^8}{z^4} $, $z \ne 0$
Dunque si ha:
$4z^6 = - |z|^8 \implies 4|z|^6 e^{6i\theta} = - |z|^8 \implies 4e^{6i\theta} = - |z|^2 = |z|^2 e^{i\pi}$
In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $
$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Nelle tre forme (esponenziale, trigonometrica e algebrica):
$z_0 = 2e^{i\pi/6} = 2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6)) = sqrt{3} + i$
$z_1 = 2e^{i\pi/2} = 2(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2)) = 2i$
$z_2 = 2e^{i5\pi/6} = 2(cos(5\pi/6) + i sin(5\pi/6)) = - sqrt{3} + i$
$z_3 = 2e^{i7\pi/6} = 2(cos(7\pi/6) + i sin(7\pi/6)) = - sqrt{3} - i$
$z_4 = 2e^{i3\pi/2} = 2(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2)) = - 2i$
$z_5 = 2e^{11\pi/6} = 2(cos(11\pi/6) + i sin(11\pi/6)) = sqrt{3} - i$
Notare che, fatta eccezione per la soluzione $z = 0$, le altre $6$ soluzioni rappresentano i vertici dell'esagono regolare di lato $2$ inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio $2$.