Aiuto con un limite

[Paak07]

Chiedo scusa se in questo periodo sto aprendo molte discussioni, però a breve ho l'esame e vorrei il vostro aiuto. Devo risolvere il seguente limite $\lim_{x \to \0^(+)}(sen(senx)-arctgx)/(x^(a)(arcsen(cosx))$
Devo determinare il valore di a affinche questo limite risulti finito, la prof ci ha detto di provarlo a fare con gli sviluppi di Taylor, non ci ha detto di farlo con de l'Hospital poichè a lei non piace molto usarlo comunque queste sono fisse sue a me interessa risolverlo. Io ho provato a ragionare su come farlo con Taylor però non sono arrivato a nulla quindi ho provato a fare de l'Hospital, ma facendo le derivate mi viene un mostro . Mi potreste aiutare voi gentilmente(?)

[Weierstress]

Procedere con De l'Hopital è folle in questo caso... Prova a postare i tuoi sviluppi così vediamo dove ti incarti.
Essendo di telefono fatico a scrivere matematichese dunque perdonami se non vado nei dettagli... Comunque conviene di certo iniziare dal denominatore.

[sandroroma]

Osservo che $\lim_{x->0+}\arcsin(\cosx)=\lim_{x->0+}(\pi/2-x)=\pi/2$
Pertanto il limite si può porre nella forma ( leggermente semplificata, a mio parere) che segue:
$2/{\pi}*\lim_{x->0+}[\sin(\sin(x))-\arctanx]/[x^a]$
E' poi evidente che per $a<=0$ il limite è 0 (lascio a te la facile verifica). Resta quindi solo il caso $a>0$
su cui puoi fare un'utile esercizio di approfondimento.

[francicko]

Partendo dal limite semplificato riportato da @sandroroma ed osservando gli sviluppi di taylor:
$sin (sinx )=(x-x^3/3+x^5/10+o(x^5) )$
$arctanx=(x-x^3/3+x^5/5+o(x^5)) $

sostituendo si osserva subito che a numeratore i termini di grado inferiore a $5$ si elidono, e rimane solo il termine di quinto grado, quindi , come risulta il limite se è $a<=5$?
E se $a>5$?

[Paak07]

come prima cosa grazie per l'aiuto detto questo voglio chiederti una cosa lo sviluppo di taylor di $sen(senx)$ per trovarlo non dovrei fare prima lo sviluppo di $senx$ fermandomi al primo ordine che è $senx=x-o(x^2)$ e poi andare a fare lo sviluppo di $sen(x-o(x^2))$ o ho detto una stupidata(?)
Fatta questa domanda con lo sviluppo che mi hai fatto tu se $a<5$ il limite fa 0 mentre se $a=5$ il limite fa $2/(5\pi)$ metre se $a>5$ il limite fa $+infty$ giusto?

[francicko]

Partendo dal fatto che gli $o(x^5) $ sono da non prendere in considerazione, quindi tutti i termini di grado maggiore di $5$;
Ponendo $t=sinx =(x-x^3/6+x^5/120)$, avremo $sint=(t-t^3/6+t^5/120) $, sostituendo avremo :
$sint=(x-x^3/6+x^5/120)-(x-x^3/6+x^5/120)^3/6+(x-x^3/6+x^5/120)^5/120$,
se si effettuano correttamente i calcoli, lo sviluppo , non prendendo in considerazione gli $o (x^5) $ conduce all'espressione $(x-x^3/6+x^5/120-x^3/6+x^5/12+x^5/120) $ $=x-x^3/3+x^5/10$.
Magari sbaglio io, ma a me viene $0$ se $a <5$, $1/(5pi) $ se $a=5$, ed $-infty $ se $a>5$, prova a verificarlo con Wolfram.

[Paak07]

c'è anche un due fuori dal limite quindi viene $2/(5pi)$ una domanda come mai hai arrestato lo sviluppo del $senx$ al quinto ordine non ci conveniva fermarci al primo(?)

[Gianb24]

come prima cosa grazie per l'aiuto detto questo voglio chiederti una cosa lo sviluppo di taylor di $sen(senx)$ per trovarlo non dovrei fare prima lo sviluppo di $senx$ fermandomi al primo ordine che è $senx=x-o(x^2)$ e poi andare a fare lo sviluppo di $sen(x-o(x^2))$ o ho detto una stupidata(?)
Fatta questa domanda con lo sviluppo che mi hai fatto tu se $a<5$ il limite fa 0 mentre se $a=5$ il limite fa $2/(5\pi)$ metre se $a>5$ il limite fa $+infty$ giusto?

$-infty$ e $-1/(5\pi)$
Un consiglio che posso darti per gli sviluppi di Taylor, inizia sempre dove ci sono le moltiplicazioni, in questo caso al denominatore, sviluppi al primo ordine e svolgi le operazioni, allora sviluppi il numeratore (in questo caso specifico), in base al resto ($o(x^n)$) e in base al risultato del nominatore, vedrai se il limite converge o diverge...

[francicko]

Sì , per $a=5$ il limite risulta $-1/(5pi) $, per $a <5$ il limite vale $0$, e per $a>5$ il limite vale $-infty $, è giusto così,

[francicko]

c'è anche un due fuori dal limite quindi viene $2/(5pi)$ una domanda come mai hai arrestato lo sviluppo del $senx$ al quinto ordine non ci conveniva fermarci al primo(?)

Il primo termine utile in ordine crescente che non si elide nella differenza è quello di quinto ordine , cioè il termine di grado $5$, ed essendo un infinitesimo, in soldoni è quello che tende a $0$ meno velocemente, quindi merita maggiore considerazione, il resto , gli $o (x^5) $ per intenderci, sono trascurabili, questo chiaramente in un espressione come a numeratore dove negli sviluppi si ottengono termini di segno opposto che si elidono,diversamente è quando si considera il rapporto di due infinitesimi, allora a dettar legge in quest' ultimo caso è l'infinitesimo di grado più alto.