Nello specifico, per questo tipo di esercizi:
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Ponendo $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z))$
Vale:
$i)$ $F_1(0,0,0)=0=F_2(0,0,0)$,
$ii)$ $F$ è di classe $C^oo$
Per quanto riguarda la terza condizione, so che bisogna costruire la matrice, valutata in $(x_0,y_0,z_0)$:
$((delx F_1,dely F_1,delz F_1),(delx F_2,dely F_2,delz F_2))$ e poichè $det((dely F_1,delz F_1),(dely F_2,delz F_2))!=0$
Si può applicare il teorema delle funzioni implicite per $x$ in un intorno di $0$. Giusto?
Esiste un modo più rapido, che mi permette di giungere alla stessa conclusione senza calcolarmi tutte le derivate?
Ad esempio, in questo esercizio svolto, ho notato che è bastato valutare $delx F_1(0,0,0)=1$ e $delx F_2(0,0,0)=-1$ per affermare che si può applicare il teorema. Non capisco il perchè