Funzioni implicite per sistema di equazioni

[bellrodo]

Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà ad applicare il teorema delle funzioni implicite per un sistema di equazioni.
Nello specifico, per questo tipo di esercizi:

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Ponendo $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z))$

Vale:

$i)$ $F_1(0,0,0)=0=F_2(0,0,0)$,
$ii)$ $F$ è di classe $C^oo$

Per quanto riguarda la terza condizione, so che bisogna costruire la matrice, valutata in $(x_0,y_0,z_0)$:

$((delx F_1,dely F_1,delz F_1),(delx F_2,dely F_2,delz F_2))$ e poichè $det((dely F_1,delz F_1),(dely F_2,delz F_2))!=0$

Si può applicare il teorema delle funzioni implicite per $x$ in un intorno di $0$. Giusto?
Esiste un modo più rapido, che mi permette di giungere alla stessa conclusione senza calcolarmi tutte le derivate?

Ad esempio, in questo esercizio svolto, ho notato che è bastato valutare $delx F_1(0,0,0)=1$ e $delx F_2(0,0,0)=-1$ per affermare che si può applicare il teorema. Non capisco il perchè

[cooper]

secondo me qui l'ha fatto perchè chiede solo $y=y(x)$ ed analogamente per z. cioè chiede solo rispetto ad x e non anche all'altra variabile.

[bellrodo]

secondo me qui l'ha fatto perchè chiede solo $y=y(x)$ ed analogamente per z. cioè chiede solo rispetto ad x e non anche all'altra variabile.

Quindi mi basta verificare che quelle due derivate siano $!=0$?
Quindi quella matrice non mi servirebbe a nulla?
Io pensavo piú a qualcosa sul rango di quella matrice $2$x$3$ e che il risultato di quelle due sole derivate , in qualche modo, mi forniva qualche informazione

[cooper]

Quindi mi basta verificare che quelle due derivate siano ≠0?

si direi di si

Quindi quella matrice non mi servirebbe a nulla?

in questo caso mi verrebbe da dire di no

o pensavo piú a qualcosa sul rango di quella matrice 2x3 e che il risultato di quelle due sole derivate , in qualche modo, mi forniva qualche informazione

io sapevo che si dovesse studiare il rango dello jacobiano come hai fatto tu (per esprimere $x=(y,z)$)
altro non saprei cosa potrebbe dire.

[bellrodo]

spero che qualcuno possa darmi qualche informazione in piú