Dubbio o piccolo

[Plinio78]

Affinché sia $ f(x)=o(g(x)) $ è necessario che $ lim_(x -> x_0) f(x)/g(x)=0 $
Ma è necessario anche che le due funzioni siano infinitesime per $ x->x_0 $ ?

[Weierstress]

No. Perché dovrebbero? La definizione è quella che hai dato tu, punto.

Può darsi benissimo che entrambe le funzioni siano infinitesime, e allora l'infinitesimo di ordine maggiore sarà un o piccolo dell'altra funzione.

[Plinio78]

No. Perché dovrebbero? La definizione è quella che hai dato tu, punto.

Può darsi benissimo che entrambe le funzioni siano infinitesime, e allora l'infinitesimo di ordine maggiore sarà un o piccolo dell'altra funzione.

Ma allora cosa significa dire che $ f(x)=o (g (x)) $ ?
Io pensavo significasse che quando x tende ad $ x_0 $ allora f(x) tende a 0 più velocemente di g(x). Ma se mi dici che non è necessario che le funzioni siano infinitesime allora non ha molto senso quello che credevo.

[Weierstress]

Quindi per $xrarr∞$ secondo te $x$ non è un o piccolo di $x^2$?

Puoi pensarla così: una funzione è o piccolo di un'altra se la puoi trascurare quando $x$ tende a una certa quantità.

Io pensavo significasse che quando x tende ad x0 allora f(x) tende a 0 più velocemente di g(x).

Non è quello che ti dice la definizione. L'unica cosa che conta è che per $x$ che va a quel valore il limite faccia zero.
$f(x)$ non deve necessariamente tendere a $0$, e neppure $g(x)$. Non c'è nessuna ipotesi al riguardo. Conta solo il risultato!

Ad esempio, può succedere che questo sia vero perché al denominatore si ha un infinito di ordine maggiore. Come nell'esempio precedente,

$lim_(xrarr∞)x/x^2=1/x=0 rarr x=o(x^2)$

Certo, se $xrarr0$, sia ha l'esatto contrario: infatti $x^2/x=xrarr0$ e $x^2=o(x)$.

E così via. Devi considerare caso per caso in base alle funzioni e al limite che hai davanti. La gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi ti può aiutare perché rispecchia tutta questa questione.

Spero sia più chiaro, chiedi pure se hai dubbi...

[Plinio78]

Quindi per $xrarr∞$ secondo te $x$ non è un o piccolo di $x^2$?

Puoi pensarla così: una funzione è o piccolo di un'altra se la puoi trascurare quando $x$ tende a una certa quantità.

Io pensavo significasse che quando x tende ad x0 allora f(x) tende a 0 più velocemente di g(x).

Non è quello che ti dice la definizione. L'unica cosa che conta è che per $x$ che va a quel valore il limite faccia zero.
$f(x)$ non deve necessariamente tendere a $0$, e neppure $g(x)$. Non c'è nessuna ipotesi al riguardo. Conta solo il risultato!

Ad esempio, può succedere che questo sia vero perché al denominatore si ha un infinito di ordine maggiore. Come nell'esempio precedente,

$lim_(xrarr∞)x/x^2=1/x=0 rarr x=o(x^2)$

Certo, se $xrarr0$, sia ha l'esatto contrario: infatti $x^2/x=xrarr0$ e $x^2=o(x)$.

E così via. Devi considerare caso per caso in base alle funzioni e al limite che hai davanti. La gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi ti può aiutare perché rispecchia tutta questa questione.

Spero sia più chiaro, chiedi pure se hai dubbi...

Perfetto, ora è chiaro. Grazie mille!

[Plinio78]

Scusa se disturbo ancora- stavo riflettendo sulle due funzioni scritte da te cioè $ f(x)=x $ e $ g(x)=x^2 $
Come mi hai giustamente fatto notare per $ x-> 0 $ si ha che $ g(x)=o(f(x)) $ mentre per $ x->oo $ si ha che $ f(x)=o(g(x)) $
Osservando i grafici di queste funzioni si vede che quando $ x->oo $ il grafico di $ g(x) $ sta "sopra" il grafico di $ f(x) $ mentre quando $ x->0 $ il grafico di $ g(x) $ sta "sotto" il grafico di $ f(x) $
Mi chiedo, era questo quello che intendevi con:

una funzione è o piccolo di un'altra se la puoi trascurare quando $ x $ tende a una certa quantità.

oppure mi sbaglio? Questo spiegherebbe anche una cosa che non avevo ben capito ovvero il principio di eliminazione degli infinitesimi. Non capivo perché si eliminassero gli infinitesimi di ordine superiore invece di quelli di ordine inferiore. A quanto ho capito vengono eliminati perché sono "trascurabili" cioè stanno "sotto" rispetto a quelli di ordine inferiore.

Perdona il linguaggio per niente tecnico ma per comprendere bene le cose ho bisogno di renderle semplici

[Weierstress]

Sì, certo. Il grafico di $g(x)$ sta sotto quello di $f(x)$ perché tende a zero più velocemente, e infatti si può considerare "trascurabile" in opportune situazioni.

Il fatto che si trascurino gli infinitesimi di ordine superiore sembra contro intuitivo solo perché hai in mente gli infiniti, dove trascuri l'ordine inferiore. E' evidente infatti se consideri qualche semplice esempio: basta pensare ad una funzione del tipo $a^n$ con $0<a<1$. Fissando come esempio $a=1/10$, si vede subito che

$1/10 < (1/10)^2=1/100<(1/10)^3=1/1000<...$

al crescere di $n$ la funzione si avvicina zero.

Adesso immagina un $a$ variabile che si avvicini sempre di più a zero, e fai lo stesso discorso: ecco qui spiegata la storia degli o piccoli.

[Plinio78]

Sì, certo. Il grafico di $g(x)$ sta sotto quello di $f(x)$ perché tende a zero più velocemente, e infatti si può considerare "trascurabile" in opportune situazioni.

Il fatto che si trascurino gli infinitesimi di ordine superiore sembra contro intuitivo solo perché hai in mente gli infiniti, dove trascuri l'ordine inferiore. E' evidente infatti se consideri qualche semplice esempio: basta pensare ad una funzione del tipo $a^n$ con $0<a<1$. Fissando come esempio $a=1/10$, si vede subito che

$1/10 < (1/10)^2=1/100<(1/10)^3=1/1000<...$

al crescere di $n$ la funzione si avvicina zero.

Adesso immagina un $a$ variabile che si avvicini sempre di più a zero, e fai lo stesso discorso: ecco qui spiegata la storia degli o piccoli.

grazie ancora, mi sei stato di grande aiuto

[Weierstress]