Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 21/07/2017, 12:44

Salve ho questo integrale:
$\int int |xy|/(x^2+y^2) dxdy$
$D={(x,y)inRR^2 : x^2+y^2<=R^2}$

Come dovrei procedere?
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 167 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Bremen000 » 21/07/2017, 15:00

Ciao, prova in coordinate polari!
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 336 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 21/07/2017, 15:15

Si ci ho pensato alche io, il mio dubbio riguarda il valore assoluto e gli estremi in cui è definito l'angolo $\theta$
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 169 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 22/07/2017, 08:40

Effettuando il cambio di variabili:
$\int int \rhocos\thetasen\theta d\rhod\theta$
Con $0<=\rho<=R $ e $ 0<=\theta<=2\pi$
Integrando con questi estremi viene zero, no?
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 171 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda pilloeffe » 22/07/2017, 09:04

Ciao Vicia,

Vicia ha scritto:Integrando con questi estremi viene zero, no?

Se l'integrale fosse quello che hai scritto sì, ma in realtà c'è il modulo, che non puoi ignorare:

$\int int \rho|cos\theta sin\theta |d\rhod\theta $

Per cui, salvo errori, nel dominio proposto mi risulta:

$\int int |xy|/(x^2+y^2) dxdy = \int int \rho|cos\theta sin\theta |d\rhod \theta = R^2$
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 519 di 10551
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 22/07/2017, 09:19

Puoi postare come hai fatto a giungere a quel risultato?
Non lo consideri come integrale generale? Quindi calcolandoti poi il limite per R che tende ad infinito?
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 172 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda pilloeffe » 22/07/2017, 09:40

Vicia ha scritto:Puoi postare come hai fatto a giungere a quel risultato?

Sì, brevemente:

$\int_{0}^R \rho d\rho = frac{R^2}{2} $

$\int_{0}^{2\pi} |cos\theta sin\theta | d\theta = 2 $

da cui segue il risultato $R^2$.
Vicia ha scritto:Non lo consideri come integrale generale? Quindi calcolandoti poi il limite per R che tende ad infinito?

Non ti seguo: non vedo in alcuna parte dei tuoi post qualcosa che mi dica che $R \to \+infty$...

Vicia ha scritto:$D={(x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=R^2}$
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 520 di 10551
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 22/07/2017, 10:03

pilloeffe ha scritto:$\int_{0}^{2\pi} |cos\theta sin\theta | d\theta = 2 $


Perchè è uguale a 2? Come lo suddividi qui l'integrale?


Non ti seguo: non vedo in alcuna parte dei tuoi post qualcosa che mi dica che $R \to \+infty$...


No non c'è scritto, ma il generale quando si indica R^2 la nostra funzione ha raggio inifito, non sappiamo che raggioha, per questo l'ho definito con integrale generale. O almeno il professore quando c'erano domini dl genere li ha sempre trattati come integrali generali
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 173 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda pilloeffe » 22/07/2017, 12:58

Vicia ha scritto:Perchè è uguale a 2? Come lo suddividi qui l'integrale?

Prova a pensare quando $cos x$ e $sin x $ hanno segno concorde: I e III quadrante. Qui il modulo si può togliere e resta $cos x sin x$. Hanno invece segno discorde nel II e IV quadrante, e qui $|cos x sin x| = - cos x sin x$.
Più formalmente:

$|cos x sin x | := {(cos x sin x, text{ per } 0 < x < pi/2 text{ e per } \pi < x < frac{3\pi}{2}),(- cos x sin x, text{ per } pi/2 < x < pi text{ e per } frac{3\pi}{2} < x < 2\pi):}$

Se ora tieni presente che $\int cos x sin x dx = - frac{1}{2}cos^2 x + c $... Dopo qualche passaggio dovresti pervenire al risultato.
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 521 di 10551
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

Messaggioda Vicia » 22/07/2017, 13:15

Perfetto ho capito, grazie :)
Vicia
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 175 di 712
Iscritto il: 11/04/2017, 17:08


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite