Integrale con arcotangente

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, ho questo problemino:

$int_1^4 arctan((x+1)/(|x|))dx$

Dopo svariati calcoli arrivo a $4arctan(5/4)-arctan2+1/2int_1^4 x/(x^2+x+1/2)dx$

Quest'ultimo integrale mi crea problemi... come posso procedere?
Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao Gustav Wittgenstein,

Partirei risolvendo prima l'integrale indefinito. Comunque, se l'ultimo integrale che hai scritto è corretto, si può scrivere:

$int x/(x^2+x+1/2) dx = frac{1}{2}int (2x)/(x^2+x+1/2) dx = frac{1}{2}[int (2x + 1)/(x^2+x+1/2) dx - int 1/(x^2+x+1/2) dx] $

Nel primo integrale il numeratore è la derivata del denominatore, nel secondo $x^2 + x + 1/2 = (x + 1/2)^2 + (1/2)^2 $ per cui, posto $t := x + 1/2 $...

[Gustav Wittgenstein]

In questo modo si ha $1/(t^2+(1/2)^2)=1/(1/2)^2 1/(1+(2t)^2)2/2$ la cui primitiva è $2arctan(2x+1)$

Corretto?

[dissonance]

In questo modo si ha $1/(t^2+(1/2)^2)=1/(1/2)^2 1/(1+(2t)^2)2/2$ la cui primitiva è $2arctan(2x+1)$

Corretto?

Metto in atto il consiglio dell'altro topic. Calcoliamo la derivata di \(2\arctan(2x+1)\):
\[
\frac{d}{dx} 2\arctan(2x+1) = 4\frac{1}{1 +(2x+1)^2}= \frac{4}{1+4x^2+4x+1}=\frac{1}{\frac12+x^2+x}\]
C'è un errore nel tuo ultimo calcolo.

[Gustav Wittgenstein]

Vero, dimentico sempre che facendo la derivata posso autocorreggermi.

Comunque non capisco: la derivata di $2arctan(2x+1)$ è proprio $1/(x^2+x+1/2)$... non conferma quindi i miei calcoli?

[pilloeffe]

Corretto?

Vediamo... In generale si ha:

$\int frac{dt}{t^2 + a^2} = frac{1}{a} arctan(frac{t}{a}) + c $

Nel tuo caso $a = 1/2$, per cui si ha:

$\int frac{dt}{t^2 + (1/2)^2} = 2 arctan(2t) + c $

Ricordando poi la posizione fatta $t := x + 1/2 $, in definitiva si ottiene:

$\int frac{dx}{(x + 1/2)^2 + (1/2)^2} = \int frac{dx}{x^2 + x + 1/2} = 2 arctan(2x + 1) + c $