Potenza di una funzione

[ti2012]

buonasera. Scusatemi, se ci troviamo di fronte ad una funzione $f: X \to [0, +\infty]$ e poi consideriamo $f^p$ con p >1 allora possiamo dire che $f<=$ $f^p$??
Se l'affermazione è giusta, lo è perchè possiamo pensare ai valori che assume la f e quindi da ciò risulta ovvio che $f<=$ $f^p$??
Grazie tantissssimo

[otta96]

Se invece di avere funzioni avessi numeri, concluderesti nello stesso modo? Ovvero, se $x>=0$ e $p>1$, allora $x<=x^p$?

[ti2012]

Sì... Quindi è giusto quanto da me scritto?
Grazie mille

[Giangaboy]

Ciao senti,
anche in base a quanto detto da otta96, f è minore o uguale di f alla p è valido soltanto quando l'argomento della potenza è maggiore o uguale a 1, quindi solo quando f è maggiore o uguale a 1.

[Giangaboy]

Per renderti questo più chiaro puoi rappresentare le due funzioni su un programma tipo geogebra o graph

[otta96]

Ma se prendi $x=1/2$ e $p=2$, cosa succede? é vera questa disuguaglianza?

[ti2012]

Chiedo scusa, nel mio messaggio precedente erroneamente avevo pensato solo ad un esempio di valore di x con x>1..
Tale dubbio mi è sorto quando ho trovato su alcuni appunti che se l'integrale di $f^p$ esteso ad un insieme misurabile è nullo allora anche l'integrale di f è nullo.. Siamo nell'ipotesi di f come da me scritta sopra e p >1.
A tal punto posso chiedervi tanto gentilmente se potete aiutarmi a capire perchè si ha che anche l'integrale di f esteso ad un insieme misurabile è uguale a 0??
Grazie tantissimo.

[Giangaboy]

Una funzione è integrabile in un intervallo secondo Cauchy-Rienamann se è limitata in tale intervallo e se contiene in tale intervallo un insieme misurabile di punti di discontinuità. Detto questo, se anche ridefiniamo la funzione in modo che non abbia punti di discontinuità, l'integrale in tale intervallo non cambia. Quindi se tale integrale è zero con la funzione di partenza, è zero anche con la nuova funzione ridefinita.
Come aiuto pensa all'integrale da -1 a 1 di sen(x)/x: esso non cambia ridefinendo f(0)=1.