Massimi e minimi funzione con seno e cose o

[alere]

Salve,avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y)|x²+y²<=1}$
della funzione
$f(x,y)=sen(x+y)cos(x+y)-3$

spero che mi aiuterete.
Grazie.

[otta96]

Allora, dato che devi massimizzare/minimizzare la funzione, del $-3$ possiamo dimenticarcene, poi ce ne ricorderemo alla fine. Ricordando che $sen2x=2senxcosx$, si ha $sen(x+y)cos(x+y)=sen(2(x+y))/2$, quindi sostanzialmente dobbiamo massimizzare/minimizzare $sen(2x+2y)$, quindi è sufficiente studiare $x+y$ su $E$ e la cosa importante da notare è che assume i valori $pi/4$ e $-pi/4$, quindi il massimo e il minimo di $sen(2x+2y)$ sono $+-1$, quindi della $f$ sono $+-1/2-3$, ovvero $-5/2$ e $-7/2$.

[alere]

Ciao,
mi potresti dire cose sei arrivato a scrivere che:
$sen(x+y)cos(x+y)=sen(2(x+y))/2=sen(2x+2y)$.
e poi come faccio a massimizzare/minimizzare la funzione
$sen(2x+2y)$
nell'insieme E.

se,per favore. mi puoi spiegare dettagliatamente.
grazie.

[otta96]

Scritto così non si capisce bene cosa intendevo, l'ho notato ora, volevo scrivere $sen(x+y)cos(x+y)=(sen(2(x+y)))/2$ e questo per le formule di duplicazione, poi quando ho detto basta studiarsi $sen(2x+2y)$ intendevo che tanto una costante moltiplicativa ($1/2$) non cambia i punti di minimo/massimo, quindi possiamo momentaneamente trascurarla.
Per quanto riguarda studiare $sen(2x+2y)$ ti basta capire se assume i valori $+-1$, in quel caso sono quelli i minimo e massimo, e li assume se $2x+2y$ assume i valori $+-pi/2$, ovvero se $x+y$ assume i valori $+-pi/4$, e questo è vero dato che se chiamiamo $g(x,y)=x+y$ si ha $g(0,0)=0$ e $g(+-1,0)=+-1$ e dato che $-1<-pi/4<0<pi/4<1$ e dato che il dominio è connesso ci saranno dei punti in cui la funzione g assume valori $+-pi/4$, quindi $sen(2x+2y)$ assume i valori $+-1$, allora per massimizzare $f$ basta sostituire a $sen(2x+2y)$ $1$, ottenendo $-5/2$, mentre per minimizzarlo basta metterci $-1$ ottenendo $-7/2$. Se non capisci qualcosa chiedi pure, no problem, solo che ti chiederei di rifletterci un po' prima di arrenderti e chiedere spiegazioni, non tanto perché non te le voglio dare (ci mancherebbe!), ma così ti abitui a ragionare e a cavartela da solo/a.

[alere]

Ciao,
sto iniziando ora con questo tipo di esercizi e non sto riuscendo a capire se esistono dei metodi per impostarlo.

Infatti non ho capito come mai dici che per studiare $sen(2x+2y)$ basta assumere i valori di $ \pm 1$.

Vorrei capire come dovrei fare a studiare la funzione e cercare i punti in relazione all'insieme.

Se,per favore, riusciresti a spiegarmelo.

Grazie.