Irrazzionalità di due radici !!
Inviato: 12/08/2017, 18:10Buonasera a tutti !!
Il testo mi chiede di provare se \(\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3}\) sia irrazionale.
Ho posto \(\displaystyle \sqrt{x}= \sqrt{2}+\sqrt{3} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6} \)
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \)
da qui ho dimostrato per assurdo "come si fa per \(\displaystyle \sqrt{2} \)" quindi siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \) primi tra loro si ha
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}= \tfrac{a}{b} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6}= \tfrac{a^2}{b^2} \)
\(\displaystyle x=2\sqrt{6}= (\tfrac{a^2}{b^2}-5)\)
\(\displaystyle x=24= (\tfrac{a^4}{b^4}-10\tfrac{a^2}{b^2}+25)\)
\(\displaystyle x=-1= [\tfrac{a^2}{b^2}(\tfrac{a^2}{b^2}-10)\)].
arrivato qui deduco " non so se sia giusto" la quantità al terzo membro deve essere positiva per \(\displaystyle a,b \ge 2 \) pertanto è assurdo.
Grazie in anticipo
Il testo mi chiede di provare se \(\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3}\) sia irrazionale.
Ho posto \(\displaystyle \sqrt{x}= \sqrt{2}+\sqrt{3} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6} \)
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}} \)
da qui ho dimostrato per assurdo "come si fa per \(\displaystyle \sqrt{2} \)" quindi siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{Z} \) primi tra loro si ha
\(\displaystyle x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}= \tfrac{a}{b} \)
\(\displaystyle x=5+2\sqrt{6}= \tfrac{a^2}{b^2} \)
\(\displaystyle x=2\sqrt{6}= (\tfrac{a^2}{b^2}-5)\)
\(\displaystyle x=24= (\tfrac{a^4}{b^4}-10\tfrac{a^2}{b^2}+25)\)
\(\displaystyle x=-1= [\tfrac{a^2}{b^2}(\tfrac{a^2}{b^2}-10)\)].
arrivato qui deduco " non so se sia giusto" la quantità al terzo membro deve essere positiva per \(\displaystyle a,b \ge 2 \) pertanto è assurdo.
Grazie in anticipo