Dimostrazione del "Teorema del passaggio sotto al segno di integrale"

[Registil]

Salve, vorrei chiedervi la correttezza della seguente dimostrazione:
$ Hp:{ ( f:[a,b]=I->R |fin C°(I) ),(lim_(n ->+infty)su p|f_n(x)-f(x)|=0 ):} -> Th: lim_(n -> +infty) int_(a)^(b) f_n(x) dx= int_(a)^(b)f(x)dx $

Dimostrazione:

Per ipotesi f è uniformemente convergente, dunque vale che:
$ AA L>0, EE v_L in N: AA n>=v_L AAx inI, |f_n(x)-f(x)|<L $

Prendendo in considerazione la disequazione ed integrando ambo i membri rispetto all'intervallo $ [a,b] $, si ottiene la seguente catena di disequazioni facendo uso delle proprietà degli integrali:
$ |int_(a)^(b) f_n(x) dx -int_(a)^(b) f(x)dx|= |int_(a)^(b) f_n(x)-f(x)dx|<=int_(a)^(b) |fn(x)-f(x)|dx<=int_(a)^(b) max|f_n(x)-f(x)|dx<int_(a)^(b) L dx=L (b-a)=L' $

Dunque la tesi è dimostrata, in quanto:
$ lim_(n -> +infty) int_(a)^(b) f_n(x) dx= int_(a)^(b)f(x)dx hArr AAL', EEv'_(L') in N:AA n>=v'_(L'), |int_(a)^(b) f_n(x) dx - int_(a)^(b)f(x)dx |<L' $

[Luca.Lussardi]

Va bene, io piu' facilmente osserverei che $0\le\|\int_a^bf_ndx-\int_a^bfdx\|\le (b-a)$max$|f_n-f|$ e usare il teorema dei due carabinieri.

[Registil]

Grazie!