Buonasera a tutti.
Ho provato a svolgere il seguente esercizio, ma non so se il procedimento e le conclusioni sono giuste. Potreste aiutarmi per favore?
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie nell'intervallo $[-1, +oo]$
$\sum_{n=1}^oo arctan[(x+1)^n/e^(nx)]$
Sia S(x) la sua somma, provare che
$S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1)$
$AAx$ che si trova nell'insieme in cui tale serie converge puntualmente.
Il mio svolgimento ( mi scuso se nel mio procedimento ci sono errori banali):
1) Convergenza puntuale:
$lim_(h->oo) {arctan[(x+1)^n/e^(nx)]}= pi/2$ in $[-1,+oo)$
Quindi la serie converge puntualmente a $pi/2$ in $[-1,+oo)$.
2) Converegenza uniforme:
per studiarla, ho calcolato la derivata delle succesione di funzioni e ho cercato i punti in cui si annulla. Facendo tutti i calcoli (se è necessario riportarli, li scrivo) si ha: $-x*n*(x+1)^(n-1)*e^(n*x)/[e^(2*n)+(x+1)^(2*n)]=0$
si annulla per $x=0$ e $x=-1$
il massimo è in $x=0$
quindi sostituisco il massimo nella successione di funzioni $ fn(x)$ e ottengo una nuova successione di funzioni $ fn(0)=gn(x)=arctan1=pi/4$ che in questo caso particolare è una costante $=>$ $gn(x)$ converge e va maggiorare $ fn(x)$, che a sua volta converge in $[-1,+oo)$. Concludendo la serie converge uniformemente in tale intervallo.
3) La somma.
Per quanto riguarda la somma, ho molte difficoltà, perchè non sono riuscita a trovare in nessun testo di teoria, nè di esercizi, come calcolare la somma di una serie così complessa. Qualcuno potrebbe fornirmi anche un aiuto teorico? Ne sarei molto grata.
Questa parte dell'esercizio, quindi non sono proprio riuscita a svolgerla.
Grazie in anticipo a tutti.