Integrale triplo

[mauri54]

Non riesco a capire come calcolare la coordinata $z$ del baricentro del solido (supposto omogeneo) limitato dalle superfici di equazioni $ x^2+y^2=1 $ , $ z=0 $ , $ z=2+|xy| $.

Ho provato ad integrare in coordinate cilindriche $ { ( x=\rho\cos(\theta) ),( y=\rho\sin(\theta) ),( z=z ):}\qquad\rho\in[0,1],\theta\in[0,\frac{\pi}{2}],z\in[0,\rho^2cos(\theta)\sin(\theta)+2] $

$ z_G=\frac{int int int_(V)^() z\ dx dy dz}{Vol(V)} $

Siccome c'è simmetria mi basta fare l'integrazione su un quadrante. Per comodità uso il primo quadrante, quindi $ |xy|+2=xy+2 $

- Calcolo $ Vol(V)=4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} int_(0)^(\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)\rho\ d\rho d\theta dz=\cdots=2\pi +\frac{1}{2}$ (giusto?)

- Calcolo $ int int int_(V)^() z\ dx dy dz = $ $ 4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} int_(0)^(\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)z\rho\ d\rho d\theta dz=4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} (\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)^2\rho\ d\rhod\theta =....?$

Come si risolve quest'ultimo integrale?

Grazie!
Mauri

[killing_buddha]

L'integrale indefinito di \((\rho^2 \cos t \sin t + 2)^2\) è calcolabile elementarmente, perché aprendo il quadrato si ha
\[
r^4 \sin ^2(t) \cos ^2(t)+4 r^2 \sin (t) \cos (t)+4
\] e ora alcune riduzioni trigonometriche lo semplificano a \( \frac{1}{8} \left(-r^4 \cos (4 t)+r^4+16 r^2 \sin (2
t)+32\right)\). A questo punto si fanno dei conti e dovrebbe venire $\frac{1}{60} (160+483 \pi )$.

[mauri54]

L'integrale indefinito di \((\rho^2 \cos t \sin t + 2)^2\) è calcolabile elementarmente, perché aprendo il quadrato si ha
\[
r^4 \sin ^2(t) \cos ^2(t)+4 r^2 \sin (t) \cos (t)+4
\] e ora alcune riduzioni trigonometriche lo semplificano a \( \frac{1}{8} \left(-r^4 \cos (4 t)+r^4+16 r^2 \sin (2
t)+32\right)\). A questo punto si fanno dei conti e dovrebbe venire $\frac{1}{60} (160+483 \pi )$.

Grazie mille!